Ruimtehoek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Ruimtehoek

Ruimtehoek is het driedimensionale analogon van de 'gewone' hoek in het platte vlak. De ruimtehoek bepaalt hoe groot een voorwerp eruitziet vanuit een bepaald punt bekeken. Zo kan een kleiner voorwerp dichtbij dezelfde ruimtehoek hebben als een groter object verder weg.

De grootte van de ruimtehoek is de oppervlakte van de projectie van het bekeken voorwerp op de eenheidsbol vanuit het middelpunt[1]:

Om in de formule de dimensies inzichtelijk te maken is de straal r van de bol daarin opgenomen, want ook al wordt die gekozen als 1 lengte-eenheid, is het wel een grootheid met dimensie lengte. De formule laat zo zien dat de ruimtehoek dimensieloos is. Desondanks wordt bij het aangeven van de grootte van de ruimtehoek voor de duidelijkheid vaak wel de steradiaal (sr) vermeld, een dimensieloze SI-eenheid met de numerieke waarde 1. Een volledig boloppervlak vormt een ruimtehoek van 4π sr. Wanneer men een ruimtehoek met grootte Ω snijdt met een bol met straal r, heeft de doorsnede een oppervlakte Ωr².

In een coördinatenstelsel met een vorm van breedtegraad en lengtegraad (zie ook coördinaten op een boloppervlak) geldt (met en in radialen)

en dus

De factor correspondeert met het feit dat op een breedtecirkel de coördinaat een interval doorloopt van radialen, maar die breedtecirkel op de eenheidsbol buiten de "evenaar" een kleinere lengte heeft dan , omdat het geen grote cirkel is.

Voor een gebied met breedtegraad van en en lengtegraad van en geeft de formule

Een graad kan worden gezien als een dimensieloze eenheid voor hoekgrootheden, gegeven door het dimensieloze getal π/180. Zo bekeken is de formule onafhankelijk van de gebruikte eenheid voor hoekgrootheden (zoals formules in principe altijd een relatie geven tussen grootheden, onafhankelijk van de gebruikte eenheden).

Hierop voortbouwend kan een vierkante graad worden gezien als een bijbehorende dimensieloze eenheid voor de ruimtehoek, gegeven door een graad in het kwadraat, dus de dimensieloze grootheid (π/180)² sr, en analoog voor een vierkante boogminuut (1/3600 daarvan) en een vierkante boogseconde (1/3600 dáárvan). Daarmee is een steradiaal 3282,81 vierkante graad, of 11.818.103 vierkante boogminuut, of 42.545.170.296 vierkante boogseconde. Een lengtegraad beslaat 114,5916 vierkante graad, of 412.529,6125 vierkante boogminuut, of 1.485.106.604,9791 vierkante boogseconde.

Andere definities van vierkante graad, vierkante boogminuut en vierkante boogseconde[bewerken]

Er worden ook iets andere definities gebruikt van een vierkante graad, een vierkante boogminuut en een vierkante boogseconde. In termen van geografische coordinaten en overeenkomstige hemelcoördinaten, is in een context waarin een vierkante graad op verschillende breedtegraden een even grote ruimtehoek moet zijn de simpele interpretatie van een gebied dat een graad in oostwestrichting en een graad in noordzuidrichting is, in ieder geval ongeschikt.

Bij een bol met geografische coordinaten kan men bijvoorbeeld onder een vierkante graad de ruimtehoek verstaan die correspondeert met een oppervlak begrensd door twee geografische lengtes die een graad verschillen, en de geografische breedtes −0,5° en 0,5° (waarbij op andere breedtes een even groot gebied genomen wordt). Gemeten door het midden zijn de lengte en breedte dan wel gelijk, maar bij een poging tot onderverdeling in 3600 vierkante boogminuten zijn die niet helemaal vierkant.

Volgens deze definitie is een vierkante graad sr = 304,614 μsr. Een steradiaal is dan 3282,85 vierkante graad.[2], en de hele bol resp. 41.253,5, en beslaat een lengtegraad vierkante graad.

Analoog kan een vierkante boogminuut en een vierkante boogseconde gedefinieerd worden. Volgens deze definities beslaat een lengtegraad 412.529,6139 vierkante boogminuut, of 1.485.106.604,9806 vierkante boogseconde.[3]

Weer een andere mogelijkheid is een gekromd vierkant op de bol met de symmetrie van een gewoon vierkant (een kwartslag draaien levert hetzelfde op). Dit kan door in beide richtingen het systeem toe te passen zoals hierboven bij de geografische breedte (begrenzing door twee evenwijdige vlakken), of door in beide richtingen het systeem toe te passen zoals hierboven bij de geografische lengte (begrenzing door twee vlakken door het middelpunt van de bol; alle zijden van het vierkant zijn delen van grote cirkels). Dit sluit echter niet goed aan op een coördinatenstelsel op een boloppervlak: deze hebben altijd twee coördinaten die een asymmetrische rol vervullen.