In de abstracte verzamelingenleer kan met behulp van twee relaties tussen verzamelingen soms een nieuwe relatie gevormd worden, de samengestelde relatie .
Zij
R
{\displaystyle R}
een relatie tussen twee verzamelingen
A
{\displaystyle A}
en
B
{\displaystyle B}
, dus
R
{\displaystyle R}
is een deelverzameling van het cartesisch product
A
×
B
{\displaystyle A\times B}
, en
S
{\displaystyle S}
een relatie tussen
B
{\displaystyle B}
en
C
{\displaystyle C}
:
R
⊂
A
×
B
,
S
⊂
B
×
C
{\displaystyle R\subset A\times B,\ S\subset B\times C}
De samengestelde relatie van
R
{\displaystyle R}
en
S
{\displaystyle S}
is gedefinieerd als
S
∘
R
=
{
(
a
,
c
)
∈
A
×
C
∣
∃
b
∈
B
:
(
a
,
b
)
∈
R
en
(
b
,
c
)
∈
S
}
{\displaystyle S\circ R=\{(a,c)\in A\times C\mid \exists b\in B:(a,b)\in R{\hbox{ en }}(b,c)\in S\}}
De notatie
S
∘
R
{\displaystyle S\circ R}
wordt soms gelezen als "
S
{\displaystyle S}
(komt) na
R
{\displaystyle R}
".
Beschouw de volgende twee relaties tussen de natuurlijke getallen
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
en zichzelf:
R
=
{
(
0
,
0
)
,
(
1
,
2
)
,
(
2
,
4
)
}
{\displaystyle R=\{(0,0),(1,2),(2,4)\}}
S
=
{
(
0
,
5
)
,
(
0
,
10
)
,
(
4
,
2
)
,
(
4
,
4
)
}
{\displaystyle S=\{(0,5),(0,10),(4,2),(4,4)\}}
Dan is hun samengestelde relatie
S
∘
R
=
{
(
0
,
5
)
,
(
0
,
10
)
,
(
2
,
2
)
,
(
2
,
4
)
}
{\displaystyle S\circ R=\{(0,5),(0,10),(2,2),(2,4)\}}
In dit geval heeft ook
R
∘
S
{\displaystyle R\circ S}
zin, en
R
∘
S
=
{
(
4
,
4
)
}
{\displaystyle R\circ S=\{(4,4)\}}
Verband met transitiviteit [ bewerken ]
Een relatie
R
⊂
A
×
A
{\displaystyle R\subset A\times A}
op een verzameling
A
{\displaystyle A}
is transitief als
R
∘
R
{\displaystyle R\circ R}
een deel is van
R
{\displaystyle R}
zelf.
Samengestelde afbeelding [ bewerken ]
Als
f
{\displaystyle f}
een afbeelding is van
A
{\displaystyle A}
naar
B
{\displaystyle B}
, en
g
{\displaystyle g}
is een afbeelding van
B
{\displaystyle B}
naar
C
{\displaystyle C}
, dan is
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
een afbeelding van
A
{\displaystyle A}
naar
C
{\displaystyle C}
, samengestelde afbeelding genoemd.
Beschouw de reële functies
f
:
R
→
R
:
x
↦
x
2
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto x^{2}}
en
g
:
R
→
R
:
x
↦
x
−
1
{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto x-1}
. Dan bestaan zowel
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
als
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
, en
(
g
∘
f
)
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
=
x
2
−
1
{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=x^{2}-1}
(
f
∘
g
)
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
=
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=(x-1)^{2}}
Permutatiegroep [ bewerken ]
Als
f
{\displaystyle f}
en
g
{\displaystyle g}
permutaties zijn van een gegeven verzameling
A
{\displaystyle A}
, dan is
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
dat ook. De verzameling van alle mogelijke permutaties van
A
{\displaystyle A}
vormt met de bewerking
∘
{\displaystyle \circ }
een (niet noodzakelijk commutatieve ) groep , genoteerd
S
(
A
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(A)}
en genaamd de symmetrische groep op
A
{\displaystyle A}
.