Samenhang

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een samenhangende en een onsamenhangende deelverzameling van het vlak

Samenhangendheid[bewerken]

Wanneer (X,\mathcal{T}) een topologische ruimte is, en als er geen twee open, niet lege, deelverzamelingen A,B zijn, waarvoor geldt dat A\cup B=X en A\cap B=\emptyset, dan heet X samenhangend. In deze definitie mag "open" ook vervangen worden door "gesloten". Een andere equivalente definitie luidt: X is samenhangend als X en de lege verzameling de enige clopen (zowel open als gesloten) deelverzamelingen zijn. Om te bepalen of een deelverzameling van X open is, beperken we ons tot de deelruimtetopologie.

Opmerking[bewerken]

Wanneer men spreekt over A en B open, dienen deze open te zijn in X, niet in de volledige metrische ruimte V.

Voorbeelden[bewerken]

  • \mathbb{R}^n met de gewone metriek is samenhangend voor elke n\in\mathbb{N}.
  • Elk interval in \mathbb{R} met de gewone metriek is samenhangend.
  • (0,1)\cup (2,3) als deel van \mathbb{R} met de gewone metriek is niet samenhangend. Kies A=(0,1) en B=(2,3). Duidelijk is dat A en B beiden open en niet leeg zijn en bovendien geldt er A\cup B=X en A\cap B=\emptyset.

Wegsamenhangendheid[bewerken]

Het is vrij lastig om aan te tonen of een verzameling samenhangend is. Daarom is het begrip wegsamenhangendheid ingevoerd. Eerst moet men definiëren wat een pad is: een functie p:[0,1]\rightarrow X heet een pad tussen a en b uit een topologische ruimte (X,\mathcal{T}) als p continu is en p(0)=a en p(1)=b. Een topologische ruimte (X,\mathcal{T}) heet dan wegsamenhangend of padsamenhangend als er voor elke twee punten a,b\in X een pad bestaat.

Wegsamenhang en samenhang[bewerken]

Wegsamenhangendheid blijkt over het algemeen wat makkelijker aan te tonen dan samenhangendheid. De begrippen zijn echter niet equivalent. Wegsamenhangendheid blijkt wel samenhang te impliceren, maar omgekeerd hoeft samenhangendheid niet wegsamenhang te impliceren. Een voorbeeld is de topologische sinuscurve, die wel samenhangend is, maar niet wegsamenhangend.

Een voorbeeld van een ruimte die wel wegsamenhangend is, is \mathbb{R}^n.

Samenhang en wegsamenhang zijn continu-invariante eigenschappen. Dit houdt in dat het continue beeld van een verzameling met een continu-invariante eigenschap ook die eigenschap heeft.

Samenhangende deelverzamelingen[bewerken]

Uit de definitie volgt dat de lege verzameling, evenals alle singletons samenhangend zijn. Een topologische ruimte waarvan alle deelruimten, met uitzondering van de lege verzameling en de singletons, onsamenhangend zijn, heet totaal onsamenhangend.

Een discrete topologie is totaal onsamenhangend. Een ander voorbeeld vormen de rationale getallen met de gewone topologie.