Inwendig product

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Scalair product)
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Meetkundige betekenis voor het geval van een scherpe hoek: inwendig product A.B = lengte van B × lengte van projectie van A op B

Het inwendig product (ook wel inproduct of scalair product genoemd) van twee vectoren is een begrip uit de lineaire algebra. Ook in andere takken van de wiskunde wordt hier veel gebruik van gemaakt. De bekendste vorm komt uit de euclidische meetkunde en is voor de vectoren en gedefinieerd als:

waarin de hoek tussen de vectoren is en en respectievelijk de normen van de vectoren en zijn. Het scalair product van de vectoren is dus, zoals de naam al aangeeft, een scalair en geen vector.

Men noteert het inproduct ook als:

Voor de bovenstaande definitie is het nodig de hoek tussen de beide vectoren te kennen, of meer nog dat in de gebruikte meetkunde al een begrip hoek bestaat.

Als de vectoren en elementen zijn van de , de n-dimensionale vectorruimte over de reële getallen, en:

en

.

dan kan het inwendig product vastgelegd worden als:

.

Deze vorm van het inwendig product heet het standaardinproduct; het is de gebruikelijke vorm van inwendig product in een euclidische ruimte.

Daarna kan dan de hoek tussen de beide vectoren gedefiniëerd worden met behulp van dit inproduct en de norm van de vectoren.

Eigenschappen[bewerken]

  • De vectoren en staan loodrecht op elkaar dan en slechts dan als hun inproduct gelijk aan 0.
  • Het inwendig product van vectoren uit een reële vectorruimte is commutatief:

Het begrip inwendig product is ook gegeneraliseerd. Daarbij spreekt men naar analogie van het bovenstaande van "loodrecht" of "orthogonaal" als het inproduct gelijk is aan 0. Het gegeneraliseerde inproduct is echter niet meer noodzakelijk commutatief.

Algemene definitie[bewerken]

Een inwendig product, ook inproduct of scalair product genoemd, op een reële vectorruimte V is een positief definiete symmetrische bilineaire vorm . Dat wil zeggen dat voor en aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

  1. bilineariteit:
  2. symmetrisch:
  3. positief definiet: voor alle x en

Een inwendig product of inproduct op een complexe vectorruimte V is een hermitische positief definiete sesquilineaire vorm . Dat wil zeggen dat voor en aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

  1. sesquilineair:
  2. hermitisch:
  3. positief definiet: voor

Hier is de complex geconjugeerde van z.

Een vectorruimte met inwendig product is een inwendig-productruimte.

Eindigdimensionale geval[bewerken]

In is de algemene vorm van een inwendig product

waarin een positief-definiete matrix is. Omdat iedere positief-definiete matrix geschreven kan worden als met een inverteerbare matrix, en omgekeerd voor een willekeurige inverteerbare matrix de matrix positief definiet is, geldt ook:

De matrix is voor een gegeven niet uniek bepaald, want de matrix met een orthogonale matrix geeft dezelfde

Er geldt dus ook:

met de gewone norm.

Voorbeelden[bewerken]

De volgende bewerkingen zijn inwendige producten:

  • in :
waarin een vector van positieve gewichtsfactoren is;
  • in :
waarin staat voor de complex geconjugeerde van de getransponeerde van een vector (de hermitisch toegevoegde);
  • in een vectorruimte van reëel- of complexwaardige integreerbare functies:
,
waarbij staat voor de complex geconjugeerde van
Afhankelijk van de keuze van de vectorruimte van functies, is het positief definiete karakter van dit inproduct niet altijd gegarandeerd; soms moeten equivalentieklassen beschouwd worden van functies die bijna overal aan elkaar gelijk zijn - zie ook Lp-ruimte

Norm[bewerken]

Bij een inproduct op een willekeurige reële of complexe vectorruimte hoort op natuurlijke wijze een norm

Een genormeerde vectorruimte waarvan de norm op dergelijke wijze afkomstig is van een inproduct, heet een prehilbertruimte, omdat haar metrische vervollediging een Hilbertruimte is.

Het inproduct kan steeds uit de norm worden gereconstrueerd. In een reële prehilbertruimte geldt

of

en ook

In een complexe prehilbertruimte daarentegen hebben we:

Eindigdimensionale geval[bewerken]

In bepaalt een willekeurig inwendig product een norm met de formule

met B een inverteerbare matrix (zie ook boven).

In zijn er overigens ook nog andere normen, zoals

voor andere reële waarden van p ≥ 1.

Hoek[bewerken]

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz begrenst het inproduct van twee willekeurige vectoren door het product van hun normen:

De hoek tussen x en y wordt gegeven door

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz garandeert dat het reële deel van het rechterlid tussen −1 en 1 ligt.

Equivalentie van de beide definities[bewerken]

Afbeelding horend bij bewijs.

In twee dimensies laat het volgende bewijs zien dat beide definities equivalent zijn. Het bewijs kan heel gemakkelijk doorgetrokken worden naar drie dimensies. Stel gegeven twee vectoren en in het vlak. Te bewijzen:

.

Voor de lengte L van het blauwe lijnstuk in de figuur geldt volgens de stelling van Pythagoras:

Anderzijds volgt uit de cosinusregel:

Gelijkstellen van de beide uitdrukkingen levert:

,

waaruit volgt:

Equivalentie van de beide definities door rotatie ten opzichte van het referentieassenstelsel[bewerken]

Indien we bèta als hoek tussen vector v en de horizontale as in beschouwing nemen en gebruik maken van de Hoeksom- en hoekverschil-identiteiten:

Waaruit ook volgt dat:

En bijgevolg equivalent is aan:

Merk ook op dat deze formule aan rechterzijde niet afhankelijk is van de hoek bèta ten opzichte van het orthogonale referentieassenstelsel, noch van de oorsprong van dit assenstelsel en aan linkerzijde wel van de oorsprong van het assenstelsel.

Dus ook al zouden we ons referentieassenstelsel over een willekeurige hoek (bèta) draaien, dan blijft het inwendig product even groot:

'Vrije' vectoren hebben slechts een 'grootte' (En.: 'scalar') en een 'richting' (eventel een 'zin'), en geen bepaald aangrijpingspunt (in tegenstelling tot 'gebonden' vectoren), vandaar dat we ze steeds naar de oorsprong van het orthogonaal assenstelsel kunnen verplaatsen.

Bij een verplaatsing van de oorsprong van het orthogonale assenstelsel zou deze formule immers niet gelden.

Bovendien maakt het niet uit of je de grootte van de ene vector via de hoek alpha projecteert op de andere vector of omgekeerd:

( Gezien: )

Om dan vervolgens hun groottes met elkaar te vermenigvuldigen om het inwendig product te bekomen:

Wat maakt dat deze bewerking commutatief is in een reële vectorruimte:

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]