Schinzel's hypothese H

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is Schinzel's hypothese H een brede generalisatie van vermoedens zoals de oneindigheid van priemtweelingen. De hypothese luidt dat een familie

fi(n)

of een rij als

f(n), g(n), ...

van irreducibele polynomen f(t), g(t), ...tegelijkertijd priemgetallen aanneemt, voor een geheel getal n, dus n kan zo groot zijn als we willen. Anders gezegd, er moeten oneindig veel van die gehele getallen n zijn, waarvoor alle waarden van de rij priemgetallen zijn. Er moeten wat eisen gesteld worden aan de polynomen. Andrzej Schinzels hypothese is een uitbreiding van het eerdere vermoeden van Bunyakovsky voor een enkel polynoom.

Noodzakelijke voorwaarden[bewerken]

De hypothese moet aan noodzakelijke voorwaarden voldoen. Als we bijvoorbeeld de polynomen x+4 en x+7 nemen, is er geen n > 0 zodat n+4 en n+7 beide priem zijn. Dit komt doordat een van de twee een even getal is groter dan 2, en de ander is een oneven getal. Het is dus van belang om dit fenomeen te voorkomen.

Vaste delers[bewerken]

Dit kan voorkomen worden door middel van een geheel-getal aannemende polynoom. Dan heeft geheel-getal aannemende polynoom Q(x) een vaste deler m, als er een natuurlijk getal m is zodanig dat:

Q(x)/m

ook een geheel-getal aannemende polynoom is. Zo kunnen we zeggen dat:

Q(x)/m

een vaste deler 2 heeft. Deze vaste delers moeten worden uit

Q(x) = Π fi(x)

gehaald worden, aangezien hun aanwezigheid de mogelijkheid dat fi(n) allemaal priem kunnen zijn voor grote waarden van n tegenspreekt.

Formulering van hypothese H[bewerken]

Hierom is de standaardvorm van 'hypothese H dat als Q zoals hierboven gedefinieerd geen vaste delers heeft, dan zijn alle fi(n) oneindig vaak tegelijk priem, voor elke mogelijkheid van irreducibele polynomen zonder vaste delers fi(x) met positieve leidende coëfficiënt.

Een simpel voorbeeld als

x2 + 1

heeft geen vaste delers. Daarom is te verwachten dat er oneindig veel priemgetallen van de vorm

n2 + 1.

zijn. Dit is nog niet bewezen. Het was een van Landau's vermoedens.

Vooruitzichten en toepassingen[bewerken]

De hypothese is waarschijnlijk niet te bewijzen met de huidige methoden in analytische getaltheorie, maar wordt vaak gebruikt om conditionele resultaten te bewijzen, bijvoorbeeld in de geheeltallige meetkunde. Het resultaat van het vermoeden is zo sterk, dat een bewijs te veel gevraagd kan zijn.

Met behulp van de hypothese H zouden een aantal problemen uit de getaltheorie opgelost kunnen worden, waaronder:

Externe link[bewerken]