Sedenion

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De sedenionen vormen in de abstracte algebra een 16-dimensionale algebra over de reële getallen. De verzameling van de sedenionen wordt aangegeven door \mathbb{S}. Op dit moment zijn er twee types sedenionen bekend:

Cayley-Dickson-sedenionen[bewerken]

Net zoals (Cayley-Dickson)-octonionen, is de vermenigvuldiging van Cayley-Dickson-sedenionen noch commutatief noch associatief. Maar in tegenstelling tot de octonionen hebben de sedenionen niet de alternatieve eigenschap. Zij hebben wel de eigenschap van machtassociativiteit.

Elke sedenion is een reële lineaire combinatie van de eenheidsedenionen 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13, e14 en e15. Samen vormen deze eenheidsedenionen de basis van de vectorruimte van de sedenionen.

De sedenionen hebben een multiplicatief neutraal element 1 en multiplicatieve inversen, maar zijn geen delingsalgebra. Dat is omdat zij nuldelers hebben; dit betekent dat de twee niet-nulzijnde getallen kunnen worden vermenigvuldigd om een nulresultaat te verkrijgen: een triviaal voorbeeld is (e3 + e10)*(e6 - e15). Alle hypercomplexe getalsystemen die zijn gebaseerd op de Cayley-Dickson-constructie voor sedenionen, bevatten nuldelers.

De vermenigvuldigingstafel voor deze eenheidsedenionen zien er als volgt uit:

× 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
e1 e1 -1 e3 -e2 e5 -e4 -e7 e6 e9 -e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14
e2 e2 -e3 -1 e1 e6 e7 -e4 -e5 e10 e11 -e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13
e3 e3 e2 -e1 -1 e7 -e6 e5 -e4 e11 -e10 e9 -e8 -e15 e14 -e13 e12
e4 e4 -e5 -e6 -e7 -1 e1 e2 e3 e12 e13 e14 e15 -e8 -e9 -e10 -e11
e5 e5 e4 -e7 e6 -e1 -1 -e3 e2 e13 -e12 e15 -e14 e9 -e8 e11 -e10
e6 e6 e7 e4 -e5 -e2 e3 -1 -e1 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 -e8 e9
e7 e7 -e6 e5 e4 -e3 -e2 e1 -1 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 -e8
e8 e8 -e9 -e10 -e11 -e12 -e13 -e14 -e15 -1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e9 e9 e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14 -e1 -1 -e3 e2 -e5 e4 e7 -e6
e10 e10 e11 e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13 -e2 e3 -1 -e1 -e6 -e7 e4 e5
e11 e11 -e10 e9 e8 -e15 e14 -e13 e12 -e3 -e2 e1 -1 -e7 e6 -e5 e4
e12 e12 e13 e14 e15 e8 -e9 -e10 -e11 -e4 e5 e6 e7 -1 -e1 -e2 -e3
e13 e13 -e12 e15 -e14 e9 e8 e11 -e10 -e5 -e4 e7 -e6 e1 -1 e3 -e2
e14 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 e8 e9 -e6 -e7 -e4 e5 e2 -e3 -1 e1
e15 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 e8 -e7 e6 -e5 -e4 e3 e2 -e1 -1

Verdere documentatie[bewerken]

  • Imaeda, K., Imaeda, M.: Sedenions: algebra and analysis (Sedenionen: algebra en analyse), Applied Mathematics and Computation, 115:77-88 (2000)
  • Kinyon, M.K., Phillips, J.D., Vojtěchovský, P.: C-loops: Extensions and constructions (C-loops: uitbreidingen en constructies), Journal of Algebra and its Applications 6 (2007), no. 1, 1-20. [1]

Kegelsedenionen / "16-dimensionale M-algebra"[bewerken]

In contrast tot de Cayley-Dickson-sedenionen, die opgebouwd zijn uit het getal 1 en 15 wortels van het getal -1, zijn kegelsedenionen opgebouwd uit 8 vierkantswortels van zowel plus één als min één. Zij delen niet-commutativiteit en niet-associativiteit met de rekenregels voor Cayley-Dickson-sedenionen ("circulaire sedenion"). Kegelsedenionen zijn echter modulair, alternatief en flexibel. Met uitzondering van zijn nilpotenten, nuldelers, en nul zelf, zijn de rekenregels gesloten met betrekking tot macht-van- en logaritmebewerkingen. Kegelsedenionen zijn niet machts-associatief.

Zie voor gedetailleerde informatie en isomorfe deelalgebra's: Museanisch hypergetal.