Simpsons paradox

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Simpson's paradox: er is een positieve trend voor twee afzonderlijke groepen (blauw en rood), maar er verschijnt een negatieve trend (zwart, gestippeld) als de data wordt gecombineerd.

Simpsons paradox is een paradox uit de statistiek, genoemd naar de statisticus E.H. Simpson, die daar in 1951 voor het eerst over publiceerde. De paradox kan het beste gedemonstreerd worden met een voorbeeld.

Stel er zijn twee ziekenhuizen, een academisch (AZ) en een plaatselijk ziekenhuis (PZ). In beide worden operaties verricht. De meeste van deze operaties zijn succesvol (+), maar in sommige gevallen zijn er complicaties (–).

Simpsons paradox zegt nu dat het kan voorkomen dat als ziekenhuis AZ beter is in het uitvoeren van gemakkelijke operaties dan ziekenhuis PZ, en ziekenhuis AZ ook beter is dan ziekenhuis PZ bij moeilijke operaties, het toch kan voorkomen dat het lijkt dat ziekenhuis PZ beter is als gekeken wordt naar alle operaties.

In het volgende stukje staat dit cijfermatig uitgelegd. In de tabel staan de aantallen operaties van het vorige kalenderjaar uitgesplitst.


ziekenhuis    +       –    totaal
AZ 2110 90 2200
PZ 677 23 700
totaal 2787 113 2900

Men is nu geneigd te concluderen dat het PZ een betere score heeft dan het AZ, immers de fracties succes bedragen voor

\text{AZ}:\quad\tfrac{2110}{2200} = 0{,}959
\text{PZ}:\quad\tfrac{ 677}{ 700} = 0{,}967

Maar is die conclusie wel terecht? We maken nog een onderscheid tussen lichte (L) en zware (Z) operaties. Bekend is namelijk dat het AZ meer met zware, meer risicovolle operaties geconfronteerd wordt dan het PZ.

Voor de lichte operaties zijn de aantallen:

ziekenhuis    +       –    totaal
AZ 685 15 700
PZ 584 16 600
totaal 1269 31 1300

De fracties succes bedragen voor de lichte operaties dus voor:

\text{AZ}:\quad\tfrac{685}{700} = 0{,}9786
\text{PZ}:\quad\tfrac{584}{600} = 0{,}9733

Nu blijkt dat voor de lichte operaties het AZ beter scoort dan het PZ. Men zou nu denken dat voor de zware gevallen dat wel anders zal zijn.

Echter, voor de zware operaties zijn de aantallen:

ziekenhuis    +       –    totaal
AZ 1425 75 1500
PZ 93 7 100
totaal 1518 82 1600

De fracties succes bedragen voor de zware operaties dus voor:

\text{AZ}:\quad\tfrac{1425}{1500} = 0{,}95
\text{PZ}:\quad\tfrac{  93}{ 100} = 0{,}93

Dus ook voor de zware operaties scoort het AZ beter.

Dit klinkt paradoxaal en de verklaring moet gezoct wordenn in wat boven al is aangegeven. Het AZ wordt meer met zware operaties geconfronteerd dan het PZ. De volgende tabel geeft de verdeling van de operaties over de beide ziekenhuizen:

ziekenhuis    Z       L    totaal
AZ 1500 700 2200
PZ 100 600 700
totaal 1600 1300 2900

De fracties zware operaties bedragen voor:

\text{AZ}:\quad\tfrac{1500}{2200} = 0{,}68
\text{PZ}:\quad\tfrac{ 100}{ 700} = 0{,}14

Nu kan voor de successcores teruggerekend worden:

\text{AZ}:\quad\tfrac{2110}{2200}=\tfrac{1425}{1500}\times \tfrac{1500}{2200}+\tfrac{685}{700}\times \tfrac{700}{2200}
\text{PZ}:\quad\tfrac{677}{700}=\tfrac{93}{100}\times \tfrac{100}{700}+\tfrac{584}{600}\times \tfrac{600}{700}

anders geschreven:

\text{AZ}:\quad 0{,}959=0{,}95\times 0{,}6818+0{,}979 \times (1-0{,}6818)
\text{PZ}:\quad 0{,}967=0{,}93\times 0{,}1429+0{,}973 \times (1-0{,}1429)

Daaraan is te zien zien dat hoewel het AZ zowel voor de zware (0,950 tegen 0,930) als de lichte (0,979 tegen 0,973) operaties beter scoort dan het PZ, door het grotere aantal zware operaties (68%) bij het AZ de overall score (0,959) meer bepaald wordt door de lagere prestatie (0,95) voor de zware operaties en bij het PZ , waar veel minder zware operaties worden gedaan (14%) de overall score (0,967) vooral bepaald wordt door de prestatie (0,973) voor de lichte operaties.

Literatuur[bewerken]

Simpson, E.H. (1951), "The Interpretation of Interaction in Contingency Tables," Journal of the Royal Statistical Society, Ser. B, 13, 238-241