Simultane verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening is een simultane verdeling, gezamenlijke verdeling of multivariate verdeling de (kans)verdeling van meer dan één stochastische variabele. De simultane verdeling van een aantal stochastische variabelen bepaalt de kansen op gebeurtenissen die betrekking hebben op meer dan een van de variabelen. Zo bepaalt de simultane verdeling van de twee stochastische variabelen X en Y bijvoorbeeld de kans op de gebeurtenis dat X groter is dan Y.

Discrete simultane verdeling[bewerken]

Een discrete simultane verdeling wordt bepaald door de simultane kansfunctie van discrete stochasten. Dat is een niet-negatieve functie

 p(x_1,x_2,...,x_n)=P(X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_n=x_n)

waarvoor geldt  \sum_{x_1,...,x_n}p(x_1,x_2,...,x_n)=1, waarbij wordt gesommeerd over alle mogelijke waarden van x_1,x_2,...,x_n.

Voor de discrete simultane verdelingsfunctie  F(x_1,x_2,...,x_n) geldt:

 F(x_1,x_2,...,x_n)=P(X_1\leq x_1,X_2\leq x_2,...,X_n\leq x_n)=\sum_{u_1\leq x_1,...,u_n\leq x_n}f(u_1,u_2,...,u_n)

De multinomiale verdeling is een discrete simultane verdeling.

Continue simultane verdeling[bewerken]

Een continue simultane verdeling wordt bepaald door de simultane kansdichtheid van continue stochasten. Dat is een niet-negatieve, stuksgewijs continue functie

 f(x_1,x_2,...,x_n)

waarvoor geldt  \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty...\int_{-\infty}^\infty f(x_1,x_2,...,x_n) {\rm d}x_n...{\rm d}x_2{\rm d}x_1=1.

Voor de continue simultane verdelingsfunctie  F(x_1,x_2,...,x_n) geldt:

 F(x_1,x_2,...,x_n)=\int_{-\infty}^{x_1}\int_{-\infty}^{x_2}...\int_{-\infty}^{x_n}f(u_1,u_2,...,u_n) {\rm d}u_n...{\rm d}u_2{\rm d}u_1

De bivariate normale verdeling en de multivariate normale verdeling zijn continue simultane verdelingen.

Marginale verdeling[bewerken]

De simultane verdeling van een aantal stochastische variabelen bepaalt ook de verdeling van elk van de variabelen afzonderlijk. Omdat een dergelijke verdeling in het discrete geval in de marge van de tabel met kansen verschijnt, wordt deze verdeling in dit verband wel aangeduid als marginale verdeling.

In het discrete geval verkrijgt men de marginale verdeling door te sommeren:

p_{X_1}(x_1)=\sum_{x_2,...,x_n}p(x_1,x_2,...,x_n).

p_{X_1} is de (marginale) kansfunctie van de discrete stochast X_1.

In het continue geval verkrijgt men de marginale verdeling door te integreren:

f_{X_1}(x_1)=\int_{-\infty}^\infty...\int_{-\infty}^\infty f(x_1,x_2,...,x_n){\rm d}x_n...{\rm d}x_2.

f_{X_1} is de (marginale) kansdichtheid van de continue stochast X_1.