Slinger (natuurkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De Slinger van Foucault beweegt door de draaiing van de aarde (het effect is in deze animatie sterk overdreven weergegeven).

Een slinger bestaat uit een massa opgehangen aan het uiteinde van een koord of een staaf die aan de bovenzijde vrij draaibaar is. Als de massa opzij getrokken wordt en daarna losgelaten, zal de massa heen en weer bewegen onder invloed van de zwaartekracht. De massa passeert daarbij telkens het centrale, laagste punt.

Er zijn ook slingers die niet van de zwaartekracht als terugdrijvende kracht gebruikmaken. Zo bestaat een torsieslinger uit een massa die aan een (fijne) draad, de torsiedraad, bevestigd is en door verdraaiing een torsiekracht in de draad veroorzaakt die als terugdrijvende kracht fungeert. Een torsieslinger werkt ook buiten een zwaartekrachtsveld. Een metronoom is een soort omgekeerde slinger - de massa zit hier aan de bovenkant van de staaf - die een veer gebruikt om de terugdrijvende kracht te leveren.

Galileo Galilei ontdekte dat een slinger een regelmatige periodieke beweging maakt, waarvan hij direct bedacht dat dit de slinger zinvol zou maken om de tijd bij te houden, zoals in een klok. Dit leidde tot de uitvinding van het slingeruurwerk door Christiaan Huygens. De grootte van de massa aan het uiteinde van de slinger is niet van invloed op de periode of de slingertijd, en ook niet op de amplitude, mits deze klein is.

Bij kleine verplaatsingen van de massa kan de beweging van een slinger wiskundig beschreven worden als een eenvoudige harmonische beweging. Dit komt doordat dan de uitwijking vrijwel evenredig is met "terugdrijvende" kracht, overeenkomstig de Wet van Hooke voor een veer. Werkelijke slingers hebben echter geen "oneindig kleine verplaatsingen" en zijn daardoor enigszins niet-lineair. Huygens toonde aan dat een "ideale" slinger niet volgens een cirkel moet bewegen, maar langs een cycloïde.( Zie Tautochrone kromme ). Ook zullen niet-ideale slingers energie verliezen, zodat ze een gedempte trilling uitvoeren.

Mathematische slinger[bewerken]

De geïdealiseerde slinger bestaat uit een puntmassa aan een massaloze staaf (of massaloos koord) met lengte l, de slingerlengte, die de puntmassa wrijvingsloos verbindt met het ophangpunt. De beweging van de slinger wordt beschreven door de hoek \theta tussen de staaf en de verticaal. De versnelling van de massa m bestaat uit de component -g\,\sin\theta van de zwaartekrachtsversnelling g langs de bewegingsrichting van de slinger. De versnelling is de hoekversnelling vermenigvuldigd met de lengte van de staaf, zodat de bewegingsvergelijking gegeven wordt door de volgende differentiaalvergelijking:

m \ell\,\frac{d^2\theta}{dt^2}=-mg\,\sin\theta

De massa m kan worden weggedeeld. Als de amplitude klein is, geldt \sin\theta \approx \theta, zodat:

\ell\,\frac{d^2\theta}{dt^2}=-g\,\theta

Als de slinger op tijdstip 0 onder de hoek \theta_0 staat, die ook gelijk is aan de maximale hoek, voldoet de volgende functie aan de differentiaalvergelijking:

\theta = \theta_0\,\cos \left(\sqrt{\frac{g}{\ell}}\, t\right)

Dit is de formule voor een eenvoudige harmonische beweging, waarin de factor \sqrt{\frac{g}{\ell}} gelijk is aan \frac{2\pi}{T_0}, waarin T_0 de periode van een volledige oscillatie is (heen en terug).

Omdat geldt \omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}} = \frac{2\pi}{T_0}, wordt de periode van een volledige trilling eenvoudig gevonden. Dit is de Wet van Christiaan Huygens - tevens de oudste formule van de natuurkunde:


T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}

Hieruit blijkt dus dat de trillingstijd van een slinger op zeeniveau alleen afhangt van de lengte. Met een slinger kan men dus ook kleine afwijkingen van g bepalen. Hieruit blijkt ook dat een slinger met dezelfde lengte op de maan, waar de zwaartekracht kleiner is, langzamer zal slingeren dan op aarde.

Dit effect heeft F.A. Vening Meinesz gebruikt om de vorm van de aarde te meten tijdens zijn beroemde reizen met de marine.

Een algemene oplossing van de mathematische slinger wordt gevonden met behulp van elliptische functies.

Fysische slinger[bewerken]

Bij de fysische slinger wordt de slinger als een voorwerp beschouwd dat een rotatie uitvoert. De differentiaalvergelijking wordt dan:

 I \frac{d^2\theta}{dt^2}=-r_Cmg\,\sin\theta

Met:

I = het traagheidsmoment van de slinger t.o.v.het ophangpunt
rC = de afstand van het massacentrum tot het ophangpunt

Met de klassieke benadering voor kleine hoeken waarbij men sin θ = θ stelt, krijgt men een eenvoudige differentiaalvergelijking, die een harmonische beweging voorstelt met

\omega = \sqrt{\frac{mgr_C}{I}}  of met een periode  T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgr_C}}

Voor grotere hoeken kan deze benadering niet gebruikt worden, de oplossing maakt dan gebruik van elliptische functies.

Slingertijd[bewerken]

De slingertijd is de tijdsduur die verloopt tussen twee momenten waarop een punt (bijvoorbeeld de massa) van een slinger zich weer op hetzelfde uiteinde bevindt. De slingertijd wordt ook wel periode genoemd.

Bij een slinger met niet te grote uitwijking is de slingertijd constant, bij een mathematische onafhankelijk van de grootte van de uitwijking. Dit volgt uit de Wet van Newton. De slingertijd is het omgekeerde van de frequentie en wordt meestal aangeduid met een grote letter T.

De slingertijd van een verticale slinger laat zich berekenen met de volgende formule:

T = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}} .

Met l de lengte van het touw (m), g als de valversnelling (m/s²), T is de tijd in seconde.

Bij een slingerlengte van 1 m bedraagt de slingerperiode 2,0060 s.

Als vuistregel kan men aanhouden dat de lengte van een slinger in meters een kwart is van de slingertijd in seconden in het kwadraat.

Vooreen slinger die een cirkevormige lbaan volgt, is de formule iets langer, namelijk:
T = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{ \sqrt{(l^2-r^2)}} {g}} .

Met r als straal van de cirkel (m).

Toepassing[bewerken]

In moderne stuwdammen bevinden zich slingers waarmee de beweging van de dam onder invloed van de waterdruk wordt vastgelegd. Dit betreft hangende slingers die aan de top van de dam vast zitten en het koord door een koker in de dam tot aan het fundament gaat, waar een gewicht in een bak olie hangt. Tevens bevinden zich in dammen omgekeerde slingers waarbij het koord juist in het fundament vast zit en het gewicht aan de bovenkant van de dam in een bak olie drijft.

Zie ook[bewerken]