Som-product-methode

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Factorisatie.svg

De som-product-methode of product-som-methode is een eenvoudige methode voor het ontbinden in factoren van een tweedegraads polynoom. Dit is een snelle manier om de nulpunten van deze polynoom te bepalen. Mede daarom is dit meestal de eerste ontbinding van polynomen die men op school leert.

Principe[bewerken | brontekst bewerken]

Elke tweedegraads polynoom in de variabele is te schrijven als

De basisvariant van de som-product-methode gaat ervan uit dat , zodat de polynoom gelijk is aan

Een ontbinding van deze polynoom (in lineaire factoren) ziet eruit als

Gelijkstelling van deze twee vormen levert:

De som-product-methode berust op het bepalen van en door het gelijkstellen van de coëfficiënten:

en

Voor gehele en zijn deze in het algemeen eenvoudig te achterhalen.

De methode kan bijvoorbeeld gebruik worden om de nulpunten van de polynoom

te bepalen. Deze nulpunten zijn en .

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Voor het ontbinden van de polynoom

zoekt men twee getallen met som 2 en product –15. Getallen die hieraan voldoen zijn 5 en –3. De ontbinding is dus

De nulpunten van deze polynoom zijn daarom en .

Uitbreiding[bewerken | brontekst bewerken]

Een uitbreiding van de som-product-methode kan soms worden gebruikt om nulpunten te vinden als a ongelijk is aan 1. Hiertoe herschrijft men de vergelijking:

tot

.

Gezocht worden twee getallen w1 en w2, waarvoor geldt:

en

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Voor het oplossen van

herschrijven we de vergelijking als

We zoeken getallen w1 en w2, met

en

De getallen 3 en 4 voldoen hieraan, dus

met als oplossingen:

en

Ingewikkelder gevallen[bewerken | brontekst bewerken]

Niet altijd kunnen de nulpunten van een tweedegraads polynoom gemakkelijk gevonden worden met de som-product-methode. In dergelijke gevallen gebruikt men de abc-formule om de nulpunten te vinden.