Somformule van Gauss

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De somformule van Gauss (in het Duits ook wel de kleine Gauss genoemd) is een formule om de som van de eerste n opeenvolgende natuurlijke getallen te bepalen

1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n +1)}{2}.

Deze rij is een speciaal geval van de rekenkundige rij. Haar sommen  1, 3, 6, 10 ... noemt men driehoeksgetallen.

Naamgeving[bewerken]

De somformule is al heel lang bekend, maar is op basis van een anekdote naar de beroemde Duits wiskundige Carl Friedrich Gauss genoemd. Diens leraar op de basisschool, J.G. Büttner, zou zijn leerlingen een tijdje bezig willen hebben houden door hen de gehele getallen van 1 tot 100 te laten optellen. De jonge Gauss zou het juiste antwoord echter binnen een paar seconden hebben gegeven, dit tot verbazing van zijn leraar en diens assistent Martin Bartels. Gauss besefte, ervan uitgaand dat de op te tellen gehele getallen van 1 tot 100 liepen, dat paarsgewijze optelling van "tegenoverliggende" termen identieke tussenresultaten oplevert: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 enzovoort, de totale som bedraagt dan 50 × 101 = 5050.[1] Hoewel deze methode zeker werkt, is het verhaal waarschijnlijk apocrief.

Som van n gehele getallen[bewerken]

De som van n gehele getallen is het onderwerp van de identiteit:

S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + n =\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}

De methode die Gauss bij de oplossing van deze som gebruikte is als volgt:


\begin{array}{r*{10}{c}}
S \mbox{ } &=& 1 &+& 2 &+& \cdots &+& n-1 &+& n\\
S \mbox{ } &=& n &+& n-1 &+& \cdots &+& 2 &+& 1\\ 
\end{array}

optellen geeft


\begin{array}{r*{10}{c}}
2S &=& n+1 &+& n+1 &+& \cdots &+& n+1 &+& n+1\\
\end{array}

dus is

2S \mbox{ } = n(n+1)

waaruit weer volgt dat

S = \frac{n(n+1)}{2}

Bewijs door volledige inductie[bewerken]

De somformule van Gauss kan worden bewezen door gebruik te maken van volledige inductie. De somformule van Gauss luidt dat voor alle natuurlijk getallen n \geq 1 geldt dat

\sum^n_{k=1} k = 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}

Als wij bovenstaande formule invullen voor het getal n=1 krijgen wij:

\sum^1_{k=1} k = 1 = \frac{1(1+1)}{2}

De inductiestap voor willekeurige natuurlijke getallen \,n wordt over de onderstaande vergelijkingsketen gevonden, waarbij de inductievooronderstelling bij de tweede omvorming wordt gebruikt:

\begin{align}\sum^{n+1}_{k=1} k = \sum^n_{k=1} k + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) = \\
=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}
= \frac{(n+1)(n+2)}{2}\end{align}

Zie ook[bewerken]

Literatuur[bewerken]

  • (nl) J. van de Craats, R. Bosch, Basisboek wiskunde, 2009, Somformule van Gauss, blz. 61
  • (de) Otto Neugebauer: Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften. Erster Band. Vorgriechische Mathematik. Springer, 1969, blz. 172–173
  • (de) Wolfgang Sartorius von Waltershausen: Gauss zum Gedächtniss, S. Hirzel, Leipzig 1856 (bij Google Books: [1]; anekdote op de pagina's 12 en 13)

Externe links[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. (en) American Scientist. Gauss's Day of Reckoningvoor een discussie van de originele "Wolfgang Sartorius von Waltershausen"-bron