Lineair omhulsel

In de lineaire algebra is het lineair omhulsel of lineair opspansel van een (eindige) verzameling vectoren W de verzameling van alle lineaire combinaties van de vectoren uit W. Hierbij is W een verzameling vectoren binnen een lineaire vectorruimte V. Het lineair omhulsel van een gegeven verzameling is bijgevolg altijd een vectorruimte. Als symbool voor het lineair omhulsel van de vectoren v₁, ...,v_n gebruikt men span(v₁, ...,v_n), afgeleid van de Engelse benaming linear span. Andere notaties zijn: <$\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$> en [$\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$].

Definitie

Zij V een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) K en zijn v₁, ...,v_n vectoren in V, dan is

$\mathrm {span} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}\,$

een deelruimte U van V, die het lineair omhulsel van v₁, ...,v_n genoemd wordt.

De verzameling vectoren

$\lbrace \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\rbrace$

wordt de verzameling opspannende vectoren van U genoemd.

Het ook geformuleerd als: U wordt voortgebracht door $W=\lbrace \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\rbrace$.

Opmerking: als de vectoren v₁, ...,v_n lineair onafhankelijk zijn, dan is W een basis van U.

Bijzondere gevallen

In het bijzonder geldt:

• $\mathrm {span} \{\}=\{\mathbf {0} \}$
• een basis van een vectorruimte heeft als lineair omhulsel de vectorruimte zelf