Besselfunctie

Besselfuncties zijn oplossingen van de Besselse differentiaalvergelijking. Ze worden zo genoemd naar de wiskundige en astronoom Friedrich Wilhelm Bessel, die de vergelijking uitwerkte. Hij deed dit met het doel de verstoring te berekenen die drie hemellichamen op elkaars baan uitoefenen; voorbereidend werk was door anderen gedaan, maar Bessels vergelijking was meer algemeen geldig. Er zijn twee soorten Besselfuncties: die van de eerste soort en van de n-de orde, Jn(x) genoteerd en die van de tweede soort en van de n-de orde, Yn(x) genoteerd.

De Besselvergelijking kan echter ook worden gebruikt om oplossingen te vinden voor de vergelijkingen van Laplace en van Helmholtz, wanneer daarbij de coördinaten cilindrisch zijn. Daardoor zijn Besselfuncties vooral van belang bij veel vraagstukken uit de wiskundige natuurkunde, zoals vragen omtrent golfvoortplanting, statische spanning enzovoort. Enkele voorbeelden zijn:

• elektromagnetische golven in een cilindrische golfgeleider
• warmtegeleiding in een cilindervormig voorwerp
• trillingswijzen van een dun cirkel- or ringvormig membraan
• verstrooiingsproblemen in een tralie.
• componentamplitudes bij frequentiemodulatie (FM): zie de grafiek Media:Bessels.png
• bepaling van grondwaterstanden bij onttrekkingen.

Definitie van de Besselfunctie

Besselfuncties zijn oplossingen van de Besselse differentiaalvergelijking:

$x^{2}y''(x)+xy'(x)+(x^{2}-n^{2})y(x)=0\;$

Deze oplossingen worden gegeven door de complexe integraal:

$J_{n}(x)={\frac {1}{2{\pi }i}}\oint _{C}{\frac {g(x,z)}{z^{n+1}}}dz$

met C een gepaste contour en $g(x,z)\;$ bepaald door:

$g(x,z)=e^{{\frac {x}{2}}(z-{\frac {1}{z}})}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(x)z^{n}$

Eigenschappen van de Besselfunctie

Besselfuncties voldoen aan de volgende eigenschappen:

$J_{n}(-x)=J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)\;$

De volgende recursiebetrekkingen gelden:

$J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)={\frac {2n}{x}}J_{n}(x)\;$

$J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)=2J_{n}'(x)\;$

Een berekening leert dat de Besselfunctie van de eerste soort en van de nulde orde gegeven wordt door:

$J_{0}(x)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {\cos(xt)}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt\;$

Als we $J_{0}(x)\;$ plotten dan verkrijgen we het volgende resultaat:

$J_{0}(x)\;$ bereikt haar maximale amplitude in de oorsprong. Naarmate $x\;$ zich verwijdert van de oorsprong neemt de amplitude geleidelijk af om dan uiteindelijk te verdwijnen in het oneindige ($x\rightarrow +\infty \;$, $x\rightarrow -\infty \;$).