Lemniscaat van Bernoulli

De lemniscaat van Bernoulli (Grieks: λημνίσκος, band) is een wiskundige kromme. Ze werd voorgesteld door Jakob Bernoulli in een artikel in zijn Acta Eruditorum (1694). Ze staat model voor het symbool voor oneindig (∞) in de wiskunde.

Definities

Lemniscaat als meetkundige plaats

• cartesiaanse vergelijking:

$\!\,(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})$

• polaire vergelijking:

$r=a{\sqrt {2\cos {2\theta }}}$

• parametervergelijking met parameter t (eenvoudig uit de polaire vergelijking af te leiden):

$x(t)={\frac {a\cos(t)}{1+\sin(t)^{2}}}$

$y(t)={\frac {a\sin(t)\cos(t)}{1+\sin(t)^{2}}}$

• meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt dat het product van de afstanden tot twee vaste, vooraf bepaalde punten F₁ = (-a,0) en F₂ = (a,0) gelijk is aan a²:

$\!\,|PF_{1}|.|PF_{2}|=a^{2}$

Eigenschappen

• De bovengedefinieerde lemniscaat heeft een dubbelpunt in de oorsprong.
• De oppervlakte van elk de beide door de bovengedefinieerde lemniscaat omsloten gebieden is a².