15- en 290-stelling: verschil tussen versies

Naar navigatie springen Naar zoeken springen
16 bytes verwijderd ,  11 jaar geleden
k (robot Erbij: fr:Théorème des 15)
De '''15-stelling''' van [[John Conway|John H. Conway]] en [[William A. Schneeberger]], bewezen in [[1993]], stelt dat als een geheeltallige [[kwadratische vorm|positief definiete kwadratische vorm]] (we nemen vanaf hier impliciet op deze pagina aan dat de kwadratische vormen positief definiet zijn) met geheeltallige matrix alle positieve gehele getallen tot en met [[15 (getal)|15]] representeert, dat het dan alle positieve gehele getallen representeert. Het bewijs was gecompliceerd en werd nooit gepubliceerd. [[Manjul Bhargava]] vond een veel eenvoudiger bewijs dat werd gepubliceerd in [[2000]].
 
De bovengrens van 15 is optimaal, omdat er kwadratische vormen zijn, bijvoorbeeldzoals
 
:''w''<sup>2</sup> + 2''x''<sup>2</sup> +5''y''<sup>2</sup> +5''z''<sup>2</sup>,
 
zijn die alle positieve gehele getallen ongelijk aan 15 representeren.
 
Een kwadratische vorm die alle positieve gehele getallen representeert, wordt soms '''universeel''' genoemd. BijvoorbeeldZo is
 
:''w''<sup>2</sup>+''x''<sup>2</sup>+ ''y''<sup>2</sup>+''z''<sup>2</sup>
 
is universeel, omdat ieder positief geheel getal als som van vier kwadraten kan worden geschreven volgens de [[vier-kwadratenstelling van Lagrange]]. Deze [[stelling (wiskunde)|stelling]] wordt in het bewijs voor de 15-stelling gebruikt als hulpstelling.
 
De 15-stelling kan worden gepreciseerd door niet te eisen dat alle positieve gehele getallen tot en met 15 worden gerepresenteerd, maar alleen de getallen 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14 en 15. Voor elk van deze getallen bestaan er kwadratische vormen die alle positieve gehele getallen representeren met uitzondering van dat getal.
32.802

bewerkingen

Navigatiemenu