Eenheidsmatrix

In de lineaire algebra is een eenheidsmatrix of identiteitsmatrix een vierkante matrix, waarvan de hoofddiagonaal (↘) uitsluitend uit enen bestaat en alle elementen die niet op de hoofddiagonaal (↘) liggen nul zijn. De eenheidsmatrix staat in de lineaire algebra gelijk aan de identiteitsfunctie. Een eenheidsmatrix wordt genoteerd met het symbool, I.

Definitie

Een eenheidsmatrix, genoteerd als I (van 'identity', identiteit), is een n×n-matrix waarvoor geldt:

$I_{ii}=1\,$ en $I_{ij}=0\,$ voor $i\neq j$

Een andere notatie hiervoor is $I_{ij}=\delta _{ij}\!$, de zogenaamde Kroneckerdelta.

Een eenheidsmatrix is dus een speciaal geval van een diagonaalmatrix en dus ook een symmetrische matrix.

Voorbeelden

Voorbeelden van eenheidsmatrices:

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

Bovenstaande matrices zijn achtereenvolgens de 1x1-, 2x2-, 3x3- en NxN-eenheidsmatrix $I_{1}$, $I_{2}$, $I_{3}$ en $I_{N}$.

Basiseigenschappen

Voor elke identiteitsmatrix I gelden de volgende elementaire eigenschappen:

• $AI=IA=A\,$
• $I^{2}=I\,$
• $I^{-1}=I\,$
• $I^{T}=I\,$
• $A^{-1}.A=I\,$