Factorgroep

In de groepentheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is een factorgroep een groep die geconstrueerd wordt uit een gegeven groep G en een normaaldeler van G. Een synoniem is quotiëntgroep.

Definitie

Zij G een groep, en H een normaaldeler van G. Dit laatste impliceert dat de verzameling G/H der linker nevenklassen van H in G samenvalt met de verzameling H\G der rechter nevenklassen van H in G.

Op deze verzameling definiëren we als volgt een groepsbewerking. Zijn aH en bH twee nevenklassen, dan noemen we het product van deze twee nevenklassen: de nevenklasse van het product van a en b.

Dit kan pas een geldige definitie zijn, als ze onafhankelijk is van de gekozen vertegenwoordiger van elke nevenklasse. Dus als c een element is van aH, en d een element van bH, dan moet cd een element zijn van abH. Dit kunnen we eenvoudig aantonen door gebruik te maken van het feit dat H normaal is:

$c\in aH\wedge d\in bH$

$\implies a^{-1}c\in H\wedge b^{-1}d\in H$

$\implies a^{-1}cb^{-1}d\in H$

$\implies b^{-1}a^{-1}cd\in H{\hbox{ (normaaldeler)}}$

$\implies (ab)^{-1}cd\in H$

$\implies cd\in abH$

Men verifieert ook gemakkelijk dat deze welgedefinieerde bewerking op de verzameling der nevenklassen, aan de groepsaxioma's voldoet.

Voorbeelden en elementaire eigenschappen

N in de nevenklasse G

Zij $\mathbb {Z}$ de optelgroep der gehele getallen, en $n\mathbb {Z}$ de deelgroep der n-vouden (n minstens 1). Dan vormt $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, de verzameling der restklassen modulo n, een cyclische groep met n elementen.

Elke groep is een normaaldeler van zichzelf, en de factorgroep is de triviale groep met 1 element.

De triviale deelgroep die bestaat uit het neutraal element, is steeds een normaaldeler. De factorgroep is isomorf met de oorspronkelijke groep.

De groep $GL(n,K)$ der omkeerbare nxn-matrices met elementen in een lichaam K heeft als normaaldeler, de deelgroep $SL(n,K)$ der matrices met determinant 1. De factorgroep is isomorf met de vermenigvuldigingsgroep K^* (de omkeerbare elementen van K).

In het algemeen is de kern van een homomorfisme van groepen steeds een normaaldeler van het domein. De bijhorende factorgroep blijkt isomorf te zijn met het beeld van het homomorfisme.

Omgekeerd is de afbeelding die elk element van G op zijn nevenklasse ten opzichte van de normaaldeler H afbeeldt, een surjectief groepshomomorfisme van G naar G/H. De kern van dit homomorfisme is H.