Affiene transformatie

Een affiene transformatie is een transformatie van de affiene meetkunde, waarbij de meetkundige structuur (punten blijven punten, lijnen blijven rechten, vlakken blijven vlakken) en parallellisme behouden blijven.

Als $(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ de coördinaten zijn van een punt in de n-dimensionale affiene meetkunde, kan een affiene transformatie voorgesteld worden door:

$\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\cdots &a_{in}\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{array}}\right),$

waarbij $A=(a_{ij})$ de matrix is van een lineaire afbeelding van $(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ en ${\vec {B}}=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})$ de translatievector is.

Als de matrix A de eenheidsmatrix is, spreekt men van een translatie. Als A een veelvoud is van de eenheidsmatrix, spreekt men van een homothetie. De translaties en homothetieën vormen een groep, namelijk die van de dilataties.