Zeven bruggen van Koningsbergen

Kaart van Koningsbergen uit Eulers tijd, met de locatie van de zeven bruggen aangegeven.

De zeven bruggen van Koningsbergen is een wiskundig vraagstuk.

In de grafentheorie is het probleem van de zeven bruggen van Koningsbergen voor het eerst opgelost door Leonhard Euler in 1736. In de geschiedenis van de wiskunde is het één van de eerste grafentheoretische problemen. Omdat de grafentheorie als een deelveld van de topologie kan worden beschouwd vormt dit vraagstuk ook een van de eerste problemen binnen de topologie die formeel geanalyseerd zijn. (De combinatoriek maakt ook wel aanspraak op de grafentheorie, maar combinatorische problemen werden al veel eerder beschouwd.)

Het vraagstuk

De stad Koningsbergen (heden ten dage Kaliningrad) lag in het oosten van Pruisen aan de rivier de Pregel, waarin twee eilanden lagen die door zeven bruggen met elkaar en met de vaste wal verbonden waren; dit staat hieronder schematisch afgebeeld. De vraag was nu of het mogelijk is om zó te wandelen dat je precies één maal over elke brug liep. Soms werd ook geëist dat men weer op het startpunt eindigde. In 1736 heeft Euler aangetoond dat dit onmogelijk is. Tevens heeft hij laten zien dat het probleem beschouwd kan worden als een probleem op een graaf, waarin het vraagstuk over de bruggen van Koningsbergen als volgt geabstraheerd is:

→ →

In de graaf, de rechter afbeelding, wordt elke brug voorgesteld door een lijn, en de eilanden en oevers door een blauw knooppunt. De punten die aan een oneven aantal lijnen grenzen, noemen we punten van oneven graad. Men kan aantonen dat het aantal punten van oneven graad in elke graaf even is. Om een Eulerwandeling of Eulertoer, waarbij men precies één keer over elke lijn loopt, mogelijk te maken, moeten er nul of twee punten van oneven graad zijn. Zijn er twee punten van oneven graad, dan moet de wandeling starten in het ene oneven punt en eindigen in het andere oneven punt. Zijn er geen punten van oneven graad, dan kan de wandeling overal beginnen en eindigt de wandeling waar hij begonnen is. Geen van beide is in Koningsbergen mogelijk doordat er meer dan twee punten grenzen aan een oneven aantal lijnen.

Het verschil tussen de echte ligging en de schematische weergave van hierboven is een goed voorbeeld van het kenmerk dat topologie zich niet bezighoudt met de exacte weergave van zaken, maar meer met hun relatieve vorm.

Een bekend puzzeltje is om een bepaalde figuur te tekenen zonder het potlood van het papier te nemen. Dat puzzeltje is oplosbaar als er hoogstens twee punten zijn waarin een oneven aantal lijnen samenkomt. Men moet dan in een van die punten beginnen. Natuurlijk moet de figuur ook samenhangend zijn.

De huidige staat van de bruggen

Twee van de zeven oorspronkelijke bruggen werden vernietigd door het bombardement op Koningsbergen ten tijde van de Tweede Wereldoorlog. Twee andere werden later door de Russen verwijderd en vervangen door een snelweg. De overige drie bruggen bestaan nog, waarbij opgemerkt wordt dat er slechts twee dateren uit de tijd van Euler, en dat er één door de Duitsers in 1935 werd herbouwd .

In termen van de grafentheorie, zijn er nu twee punten waar een even aantal lijnen samenkomen (namelijk twee). Bij twee andere punten komen in de huidige situatie drie lijnen samen. Daarmee is op dit moment een Eulerwandeling wel degelijk mogelijk, alhoewel het voor toeristen een onpraktische route zou zijn.

Bronnen

Mediabestanden

Zie de categorie Seven Bridges of Königsberg van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.