Stervormige verzameling

Een stervormige verzameling is niet noodzakelijkwijs in normale zin convex.

In de meetkunde wordt een verzameling $S$ in de Euclidische ruimte Rⁿ een stervormige verzameling (of sterconvexe verzameling) genoemd, als er een punt $x_{0}$ in $S$ bestaat, zodanig dat voor alle punten $x$ in $S$ het lijnstuk van $x_{0}$ naar $x$ volledig in $S$ ligt. Deze definitie kan onmiddellijk veralgemeend worden naar elke reële of complexe vectorruimte.

Indien men zich verzameling $S$ voorstelt als een omheind stuk land, dan is $S$ een stervormige verzameling als men een uitkijkpunt, $x_{0}$, in $S$ kan vinden van waaruit elk punt $x$ in $S$ binnen het gezichtsveld ligt.

Voorbeelden

• Elke lijn of vlak in Rⁿ is een stervormige verzameling.
• Een lijn of vlak zonder een punt is geen stervormige verzameling.
• Als A een verzameling in Rⁿ is, dan vormt de verzameling

$B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}$

die wordt verkregen door elk punt in A met de oorsprong te verbinden, een stervormige verzameling.

Eigenschappen

Een cirkelring is geen stervormige verzameling

• Elke niet-lege convexe verzameling is een stervormige verzameling. Een verzameling is dan en slechts dan convex als de verzameling met betrekking tot elk punt in deze verzameling stervormig is.
• Een kruisvormig figuur is een stervormige verzameling maar is niet convex.
• De afsluiting van ene stervormige verzameling is opnieuw een stervormige verzameling, maar het inwendige van een stervormige verzameling is niet noodzakelijkwijs ook een stervormige verzameling.
• Elke stervormige verzameling is via een rechtlijnige homotopie een samendrukbare verzameling. In het bijzonder is elke stervormige verzameling enkelvoudig samenhangend.
• De vereniging en de doorsnede van twee stervormige verzamelingen is niet noodzakelijkwijs opnieuw een stervormige verzameling.
• Een niet-lege open stervormige verzameling S in Rⁿ is diffeomorf ten opzichte van Rⁿ.

Zie ook

• Gallerieprobleem
• Sterveelhoek - een ongerelateerde term
• Stervormige veelhoek

Referenties

• (en) Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis (Complexe analyse). Cambridge University Press, 1983. ISBN 0-521-28763-4.
• (en) C.R. Smith, A characterization of Star-shaped sets (Een karakterisering van stervormige verzamelingen), American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4 (April 1968). pp. 386.

Externe link

• (en) Sterconvex op MathWorld