Schwarzschildmetriek

Algemene relativiteitstheorie
$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$
(de einstein-vergelijking)
Achtergrond Speciale relativiteit Equivalentieprincipe · Wereldlijn Coördinaat-onafhankelijkheid Wiskundige achtergrond: tensoren Metrische tensor
Vergelijkingen Einstein-vergelijking Friedmannvergelijking ADM-formalisme
Oplossingen Schwarzschildmetriek Reissner-Nordströmmetriek Kerrmetriek
Experimentele verificatie Gravitationeel lenseffect Zwarte gaten Perihelium-precessie
Gevorderde onderwerpen Kaluza-klein-theorie Kwantumgravitatie
Wetenschappers Einstein · Minkowski · Eddington Lemaître · Schwarzschild Friedmann · Chandrasekhar Hawking

Schwarzschildmetriek (genoemd naar Karl Schwarzschild) is een exacte, asymptotisch vlakke, statische en sferisch symmetrische oplossing van de Einstein-vergelijkingen. Eenvoudiger uitgedrukt: het beschrijft hoe een zwart gat er uit ziet volgens de algemene relativiteitstheorie.

Geschiedenis en context

De algemene relativiteitstheorie van Einstein volgde de gravitatietheorie van Newton op als een meer precieze beschrijving van zwaartekracht. Hoewel eleganter, is de theorie van Einstein wiskundig moeilijker. Ook de evolutie van gravitationele systemen is moeilijker te beschrijven. De relatief eenvoudige gravitatiewet van Newton wordt immers vervangen door de (veel ingewikkeldere) Einstein-vergelijkingen. Toen Einstein zijn theorie publiceerde, was het niet duidelijk of er wel exacte oplossingen van zijn vergelijkingen zouden bestaan. (Oorspronkelijk dacht hij zelf van niet.) Daarnaar werd echter wel gezocht, aangezien zo een oplossing veel inzicht zou verstrekken in de geometrie en gravitatie rondom een puntmassa in relativiteitstheorie. Het was dan ook een verrassing dat amper een jaar na het publiceren van zijn theorie (in 1916) een exacte oplossing verscheen. Deze werd gevonden door Karl Schwarzschild. De oplossing zegt hoe de metriek er uit ziet rondom een puntmassa. Dat geeft meteen ook inzicht in de beweging van andere kleine massa's in de aanwezigheid van een grote centrale massa. Maar de oplossing die Schwarzschild vond, heeft een bijzondere eigenschap. Er is een punt waar de gravitationele aantrekking zo groot is, dat geen voorwerpen kunnen ontsnappen. Dit noemt men horizon. Hoewel men zou kunnen stellen dat dit de oplossing onrealistisch maakt, heeft dit een diepere betekenis. Vandaag de dag weten we dat, indien men de massa van een voorwerp samenperst in een punt, het object een zwart gat vormt. Omdat voor de oplossingen van Schwarzschild de massa in één punt wordt verondersteld, heeft de oplossing automatisch de structuur van een zwart gat. De straal (afstand tot centrale massa) op dewelke de horizon zich bevindt, noemt men nu de Schwarzschildstraal.

De oplossing

De metriek van Schwarzschild ziet er uit als volgt:

$ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)$

Hierbij is $t$ de tijdscoördinaat, $r$ is de radiële parameter en z $\theta$ en $\phi$ zijn de azimutale en polaire hoek. De parameter $r_{s}$ is gegeven door

$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$

met G de gravitatieconstante en $c$ de lichtsnelheid.

Horizon

Op een afstand $r=r_{s}$ van de oorsprong, wordt de metriek singulier: de $g_{tt}$-component wordt nul en de $g_{rr}$-component wordt oneindig. Deze plaats (eigenlijk een sfeer) komt overeen met de horizon van het zwart gat. Een voorwerp dat hier voorbijgaat, kan niet meer terugkeren naar de buitenwereld. De straal van het zwart gat is dus $r_{s}$, en noemt men de Schwarzschildstraal.

Zie ook

• Schwarzschildstraal
• Zwart gat
• Relativiteitstheorie
• Waarnemingshorizon
• Reissner-Nordströmmetriek
• Kerrmetriek

Referenties

• Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstein'schen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 189-196.

• Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 424-?.