Inversie (meetkunde)

Twee cirkels (groen en blauw) als elkaars inverse in de rode cirkel.

Een lijn (groen) en cirkel (blauw) door het middelpunt van de inversiecirkel als beeld van elkaar.

Constructie van inversie.

Andere constructie van inverse.

Voor een andere betekenis zie Puntspiegeling.

Inversie of cirkelspiegeling is een afbeelding uit de meetkunde. Het is een soort spiegeling in een cirkel in het platte vlak. Het beeld van een punt onder inversie heet zijn inverse.

Definitie

We nemen een cirkel C met middelpunt M en straal r. Gegeven een punt P, dan is de inverse van P in C het punt Q op de halfrechte MP zodat

$MP\cdot MQ=r^{2}.$

• r² heet de macht van inversie,
• M is het centrum van inversie.

Eigenschappen

• De inverse van de inverse van een punt is het punt zelf.
• Inversie beeldt in het algemeen cirkels af op cirkels of lijnen. Deze lijnen zijn op te vatten als ontaarde cirkels, met oneindige straal. In het bijzonder is het beeld van een cirkel door M een lijn, en het beeld van een cirkel niet door M is een cirkel niet door M.
• De middelpunten van een cirkel en zijn inverse zijn collineair met M, meer specifiek is M een gelijkvormigheidscentrum van de twee cirkels.
• Gegeven de inversie met centrum M en macht p, is het beeld van een cirkel met middelpunt A en straal r, met afstand d tussen M en A, een cirkel met straal $\left|{\frac {pr}{d^{2}-r^{2}}}\right|$ en middelpunt $A+{\frac {p}{d^{2}-r^{2}}}(A-M).$
• Cirkels die C loodrecht snijden zijn invariant onder inversie.
• Inversie behoudt hoeken.
• Als A en B de snijpunten zijn van MP met C, dan liggen (A,B) en (P,Q) harmonisch.

Constructie

• Constructie van de inverse Q van een punt P in het inwendige van C:
  1. Construeer de lijn d door P loodrecht op MP
  2. Snijdt d met C, noem de snijpunten R en R',
  3. Construeer de cirkel door M, R en R',
  4. Het tweede snijpunt van deze cirkel en MP is het gezochte punt Q.

• Constructie van de inverse P van een punt Q in het uitwendige van C:
  1. Construeer de cirkel met diameter MQ,
  2. Snijdt de twee cirkels, noem de snijpunten R en R',
  3. Het snijpunt van RR' en MQ is het gezochte punt P.

• Alternatieve constructie van inverse:
  1. Neem een punt op de inversiecirkel S1,
  2. Construeer de raaklijn aan S1 door dit punt,
  3. Construeer de middelloodlijn van het gegeven punt (A of B) en het punt op S1,
  4. Snij deze twee lijnen, het snijpunt is het middelpunt van een cirkel S2 loodrecht op S1 door het gegeven punt,
  5. Het tweede snijpunt van de lijn door het inversiecentrum O en het gegeven punt met S2 is de inverse.

• Nog een ander alternatief voor constructie met enkel passer en lineaal:
  1. Trek een lijn L door het te inverteren punt P en het centrum M
  2. Trek nog een andere lijn door P die de inversiecirkel C op twee plaatsen snijdt, noem de snijpunten S en S´
  3. Draai een cirkel door S rondom een punt op L anders dan M
  4. Trek een lijn door S´ en het tweede snijpunt van deze cirkel met de inversiecirkel
  5. Het snijpunt van deze lijn met de lijn L is de inverse van punt P

• Nog een ander alternatief voor constructie met enkel passer en lineaal, voor wanneer het middelpunt M van de inversiecirkel niet precies bekend is:
  1. Trek een lijn door P die de inversiecirkel op twee plaatsen snijdt, maar duidelijk niet een diameter is. Noem de snijpunten U en V
  2. Draai een cirkel om P door U. Noem het andere snijpunt van de twee cirkels W
  3. Trek een lijn P en W. Noem het andere snijpunt met de inversiecirkel X
  4. Het snijpunt van VW en UX is de inverse van punt P

Zie ook

• Middencirkel (meetkunde)