Waterstofatoom

Het ¹H-atoom in de isotopentabel

Een waterstofatoom is een atoom van het chemische element waterstof. Het elektrisch neutrale atoom bevat een positief geladen proton en een negatief geladen elektron, dat aan de kern wordt gebonden door de Coulombkracht. De meest voorkomende isotoop, protium (ook waterstof-1 of lichte waterstof genoemd), bevat geen neutronen; andere isotopen van waterstof, zoals deuterium en tritium, bevatten respectievelijk één en twee neutronen.

Waterstofatoom als modelsysteem in de kwantummechanica

Het waterstofatoom is het eenvoudigste realistische systeem dat zich laat behandelen met de kwantummechanica. Omdat het een tweedeeltjesprobleem is, en de twee deeltjes (het elektron en het proton waar het omheen "cirkelt") op de schaal van het atoom als puntmassa's kunnen worden beschouwd, kan onder die (in de praktijk alleszins redelijke) aanname een exacte oplossing gegeven worden voor de Schrödingervergelijking (het waterstofatoom is daarmee ook het enige atoom waarvoor men de Schrödingervergelijking exact kan oplossen). Op die manier heeft men nauwkeurige kwantitatieve voorspellingen kunnen doen die een van de redenen vormen dat de kwantummechanica als succesvolle natuurkundige theorie ingang heeft gevonden.

Het zichtbare deel van de Balmerreeks

Onder meer de frequenties van verschillende series spectraallijnen (met name de Balmerreeks en de Lymanreeks) kunnen op deze manier worden berekend uit "eerste beginselen", waar voorheen alleen empirische formules voorhanden waren.

De orbitaalstructuur van waterstof is in de theoretische chemie en computationele chemie nog steeds een belangrijk theoretisch en praktisch hulpmiddel bij het beschrijven van de elektronenstructuur van andere atomen en van moleculen (al kan men de vergelijkingen voor dergelijke systemen niet meer exact oplossen, zelfs niet in de Born-Oppenheimerbenadering).

Oplossing van de Schrödingervergelijking

De Schrödingervergelijking voor de golffunctie $\Psi$ van het elektron dat met constante energie $\mathrm {E}$ in het Coulombveld van de atoomkern beweegt, is

$\mathrm {E} \Psi ({\vec {r}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\Delta \Psi ({\vec {r}})-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}\Psi ({\vec {r}})$.

De Laplaciaan $\Delta$ wordt uitgeschreven in bolcoordinaten en voor de golffunctie worden de variabelen gescheiden: $\Psi (r,\vartheta ,\varphi )=R(r)Y(\vartheta ,\varphi )$.

De vergelijking kan dan zo geschreven worden dat de linker kant alleen van $r$ afhangt en de rechter kant alleen van de hoekcoordinaten $\vartheta ,\varphi$. Linker en rechter kant zijn dus constant. De Schrödingervergelijking splitst in twee, voor $R$ en voor $Y$:

${\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left[{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial R(r) \over \partial r}\right)-{l(l+1)R(r) \over r^{2}}\right]+{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}R(r)+ER(r)=0$

en

${\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}Y(\theta ,\varphi )\right]+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}Y(\theta ,\varphi )+l(l+1)Y(\theta ,\varphi )=0$.

Deze vergelijkingen hebben alleen de constante gemeen die geschreven wordt als $l(l+1)$. De tweede vergelijking heeft dan voor $l=0,1,2,\dots$ bolfuncties als oplossing. De analyse van de eerste vergelijking neemt vele pagina's in beslag in de leerboeken, zie bijv. . Alleen voor discrete waarden van $E$ zijn er fysisch relevante oplossingen, verwant aan Laguerre polynomen.

Het resultaat is:

$\Psi _{nlm}(r,\vartheta ,\varphi )=R_{nl}(r)\;Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$.

$R_{nl}(r)={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]}}}}\;e^{-\rho /2}\;\rho ^{l}\;L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho )$

$Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$ zijn sferisch harmonischen

$a_{0}=\hbar /m_{e}c\alpha$ de Bohrstraal van het H-atoom, $\alpha$ de fijnstructuurconstante, $\rho =2r/na_{0}$ en

$L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho )$ gegeneraliseerde Laguerre-polynomen.

De kwantumgetallen kunnen de volgende waarden hebben:

$n=1,2,3,\ldots$

$l=0,1,2,\ldots ,n-1$

$m=-l,\ldots ,l.$

Het energieniveau van het elektron hangt alleen van $n$ af

$E_{n}=-{\frac {m_{e}c^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}$

en is negatief omdat het energie kost om het elektron uit het atoom te verwijderen.

Correcties

Bovenstaand model is een zeer goede benadering hoewel de massa van de atoomkern $M$ oneindig groot verondersteld is vergeleken met $m_{e}$ en relativistiche correcties niet verrekend zijn.

De eindige atoomkernmassa kan eenvoudig in de formules gecorrigeerd worden door $m_{e}$ te vervangen door de gereduceerde massa $m_{r}=m_{e}M/(M+m_{e})$.

Het model geldt ook voor 1-elektron ionen He⁺, Li²⁺ enz. met kernlading Ze als in de Schrödingervergelijking e² vervangen wordt door Ze². De energieniveaus zijn dan een factor Z² dieper.

Door relativistische correcties zijn de energieniveaus niet meer alleen van $n$ afhankelijk. De spectraallijnen hebben een fijnstructuur.

Bronnen, noten en/of referenties