Groepswerking

Gegeven een gelijkzijdige driehoek "werkt" de rotatie van 120° rond het midden van de driehoek tegen de klok in op de verzameling van hoekpunten van de driehoek door elke hoekpunt op een andere hoekpunt af te beelden.

In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra en de meetkunde, is groepswerking, of groepsactie (group action), een begrip waarmee symmetrieën van wiskundige objecten beschreven kunnen worden met behulp van groepen. Men beschouwt een verzameling wiskundige objecten, en beschrijft de symmetrieën van een wiskundig object door zijn symmetriegroep, die bestaat uit bijectieve transformaties die het object niet veranderen. In dit geval wordt de groep ook wel een permutatiegroep genoemd (als de verzameling eindig is en niet een vectorruimte vormt) of een transformatiegroep (als de verzameling een vectorruimte is en de groep als lineaire transformaties op de verzameling werkt).

Definitie

Een (links)werking of (links)actie van een groep $G$ op een verzameling $X$ is een homomorfisme $\phi$ van $G$ in de symmetriegroep $S(X)$ van $X$

$\phi :G\to S(X).$

Omdat de linkswerking $\phi$ van $G$ op $X$ en homomorfisme is, geldt:

• $\phi (g\cdot h)(x)=(\phi (g)\circ \phi (h))(x)=\phi (g)(\phi (h)(x))$
• $\phi (e)(x)=x$, met $e$ het eenheidselement van de groep

In sommige gevallen blijkt het handiger een groep van rechts op een verzameling te laten werken.

Een (rechts)werking of (rechts)actie van een groep $G$ op een verzameling $X$ is een anti-homomorfisme $\psi$ van $G$ in de symmetriegroep $S(X)$ van $X$; $\psi :G\to S(X).$

Omdat de rechtswerking $\psi$ van $G$ op $X$ en anti-homomorfisme is, geldt:

• $\psi (g\cdot h)(x)=(\psi (h)\circ \psi (g))(x)=\psi (h)(\psi (g)(x))$
• $\psi (e)(x)=x$, met $e$ het eenheidselement van de groep.

Men zegt dat de groep $G$ (van links, resp. van rechts) op de verzameling $X$ werkt.

In plaats van $\phi (g)(x)$ schrijft men vaak eenvoudig $g\circ x$, of zelfs $gx$ voor een linkswerking, en voor een rechtswerking in plaats van $\psi (g)(x)$ eenvoudig $x\circ g$ of $xg$. In deze notatie luiden de genoemde eigenschappen,

voor een linkswerking:

• $(gh)x=g(hx)$
• $ex=x$

voor een rechtswerking:

• $x(gh)=(xg)h$
• $xe=x$

Op equivalente wijze kan het begrip werking als volgt gedefinieerd worden.

Een (links)werking van de groep $G$ op de verzameling $X$ is een afbeelding:

$\circ :G\times X\to X$

met de volgende eigenschappen:

• associativiteit:

$(gh)\circ x=g\circ (h\circ x)$;

• met het eenheidselement $e$ van de groep correspondeert de identieke afbeelding van $X$

$e\circ x=x$.

Analoog is een (rechts)werking van de groep $G$ op de verzameling $X$ een afbeelding:

$\circ :X\times G\to X$

met de volgende eigenschappen:

• associativiteit:

$x\circ (gh)=(x\circ g)\circ h$;

• met het eenheidselement $e$ van de groep correspondeert de identieke afbeelding van $X$

$x\circ e=x$.

Uit de definitie volgt dat voor iedere g in G de functie van x in X naar g·x in X bijectief is. Wel is het mogelijk dat met meerdere groepselementen dezelfde bijectie correspondeert. Als dit niet het geval is, en dus de afbeelding van g in G naar g·x in de verzameling bijecties van X naar X injectief is, dan noemt men de groepswerking faithful of effectief.

Voorbeeld

X is de verzameling functies van V naar W, en G is een groep van bijecties van V naar V. De groepswerking wordt gedefinieerd door (gx)(v) = x(g⁻¹(v)).

Toepassing

Stel V is de 1D, 2D of 3D ruimte of een deelverzameling daarvan. Voor het beschrijven van symmetrie van en in V kunnen we voor X de verzameling functies nemen, gedefinieerd op V, met voor elk punt als functiewaarde een tupel met een of meer eigenschappen zoals kleur, materiaal, temperatuur enz. Zo kan bij de symmetrie van een voorwerp niet alleen de vorm worden betrokken maar ook andere aspecten. Ook kan men bijvoorbeeld bij een situatie zoals een gas in een ruimte symmetrie van druk en temperatuur als functie van positie beschouwen. Voor G kunnen we de symmetriegroep van V nemen, en de groepswerking kan worden gedefinieerd als (gx)(v) = x(g⁻¹(v)). Dit komt erop neer dat als g een translatie is, en een voorwerp gegeven wordt door x, het overeenkomstig die translatie verschoven voorwerp gegeven wordt door gx, enz. De symmetriegroep van een voorwerp of situatie beschreven door x bestaat dan uit de elementen g van G waarvoor g·x = x.

Als V de hele ruimte is kunnen we voor G nemen (met n= 1, 2 of 3) de euclidische groep E(n) of alleen de isometrieën zonder spiegeling: SE(n).

Bij toevoeging aan het tupel van een in aanmerking te nemen eigenschap zoals kleur, enz. is de symmetriegroep van het voorwerp of de situatie een subgroep van de symmetriegroep zonder die toevoeging.

Fundamenteel domein

Een fundamenteel domein van een symmetriegroep is een deel van de ruimte dat willekeurig "ingekleurd" kan worden zonder dat de symmetrie verloren gaat, en waarvan die "inkleuring", gegeven de symmetriegroep, de hele figuur bepaalt.

Bij een puntgroep in 2D beslaat deze een sector van 2π radialen gedeeld door de orde van de symmetriegroep, bij een puntgroep in 3D een 3D sector van 4π steradialen gedeeld door de orde van de symmetriegroep.

Voorbeelden:

• T: de 3D sector tussen drie bij elkaar gelegen assen van orde 3
• T_h: de 3D sector tussen drie bij elkaar gelegen assen van orde 3, 2, 2
• T_d: de 3D sector tussen drie bij elkaar gelegen assen van orde 3, 3, 2
• O: de 3D sector tussen drie bij elkaar gelegen assen van orde 4, 3, 3 of 4, 4, 3
• O_h: de 3D sector tussen drie bij elkaar gelegen assen van orde 4, 3, 2
• I: de 3D sector tussen drie bij elkaar gelegen assen van orde 5, 3, 3 of 5, 5, 3
• I_h: de 3D sector tussen drie bij elkaar gelegen assen van orde 5, 3, 2

Translatie- of rotatiesymmetrie met een klein aantal punten per fundamenteel domein kan bij gelijkmatige ligging van de punten reflectiesymmetrie impliceren:

• bij een of twee punten, ongeacht de grootte van het "kleurenpalet" (de verzameling mogelijke waarden van de functies x): men krijgt hoogstens twee kleuren om en om;
• bij drie, vier of vijf punten en slechts twee "kleuren"; bij vijf punten heeft men het patroon aaabbaaabbaaabb.. of aababaababaabab.., reflectiesymmetrie kan niet vermeden worden.

Bij zes punten is wel een chirale figuur mogelijk, in het patroon abbaababbaababbaab..

Zie ook de relatie tussen isometriegroep en symmetriegroepen.