Viervector

Speciale relativiteitstheorie
${E}\,=m\,c^{2}$
(de massa-energierelatie)
Achtergrond Lichtsnelheid Inertiaalstelsel Wetten van Maxwell
Fundamentele begrippen Ruimtetijd Viervector · Minkowski-ruimte Minkowski-diagram Gelijktijdigheid Lorentztransformatie · Lorentzinvariantie Lengtecontractie · Tijddilatatie
Gevorderde onderwerpen Massa-energierelatie Tweelingparadox EPR-paradox
Experimenten Michelson-Morley-experiment Fizeau-experiment energieproductie bij kernreacties
Wetenschappers Einstein · Maxwell · Minkowski Lorentz · Poincaré

Een viervector is een elementair wiskundig object in de (speciale) relativiteitstheorie. Het is een veralgemening van het begrip vector in de klassieke natuurkunde. Net zoals een gewone natuurkundige vector een natuurkundige entiteit is die onafhankelijk van het coördinatenstelsel betekenis heeft, en afhankelijk van het coördinatenstelsel wordt gegeven door drie coördinaten, zo is een viervector een natuurkundige entiteit die ook onafhankelijk van het coördinatenstelsel betekenis heeft, en afhankelijk van het inertiaalstelsel wordt gegeven door een scalar en een vector, die bij elkaar gerepresenteerd worden door vier coördinaten.

Een verandering van inertiaalstelsel correspondeert met een lorentztransformatie, met lorentzinvariantie.

In de algemene relativiteitstheorie wordt de lorentztransformatie veralgemeend tot een willekeurig diffeomorfisme.

Inleiding

Positie-viervector

Het basisidee van speciale relativiteitstheorie is het op gelijke voet behandelen van ruimte en tijd. Dit volgt uit het inzicht dat ruimte en tijd geen afzonderlijke grootheden zijn, maar tezamen één geheel vormen, ruimte-tijd genaamd. Dit inzicht is een noodzakelijk gevolg van de experimentele waarneming dat de lichtsnelheid dezelfde waarde heeft, voor alle waarnemers die met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen (inertiaalstelsels).

In klassieke mechanica treedt een soortgelijk fenomeen op. Het is duidelijk dat men een systeem kan beschrijven in verschillende coördinatenstelsels. Er is dus geen absolute betekenis te geven aan wat men de x-, y- en z-coördinaat noemt. Daarom maakt men in de mechanica vaak gebruik van vectoren: veel grootheden, zoals snelheid, positie, kracht,... hebben immers op een natuurlijke wijze drie componenten. Afzonderlijk hebben de componenten geen fysische betekenis, aangezien een andere keuze van assenstelsel de waardes van de componenten van de vector zal vermengen. Als geheel is een vector dan weer wel zinvol, en is dus eigenlijk mede gedefinieerd door hoe de componenten veranderen onder een verandering van assenstelsel.

Het begrip viervector veralgemeent dit begrip, ruwweg door aan vectoren ook een tijds-component toe te voegen. Het eenvoudigste voorbeeld is de aanduiding van een positie. In klassieke mechanica gebeurt dit door drie coördinaten $(x,y,z)$ op te geven. Dat beschrijft een bepaalde positie in de ruimte, zonder een tijdstip te specifiëren. Een positie-viervector (ruimtetijdpositie) ziet er echter uit als volgt:

$(ct,x,y,z)$

en bepaalt dus een welbepaalde positie $(x,y,z)$ op een welbepaald tijdstip $t$. Anders uitgedrukt: deze vector beschrijft de positie van een gebeurtenis in de ruimtetijd. In de uitdrukking hierboven is $c$ de lichtsnelheid, en garandeert dat de verschillende componenten van de viervector allemaal dezelfde eenheid hebben (lengte). Net zoals men een vector $(x,y,z)$ ook wel bondig noteert als $x^{i}$, met $i=1,2,3$, noteert men een positie-viervector als

${\vec {X}}^{\mu }:=\left(X^{0},X^{1},X^{2},X^{3}\right)=\left(ct,x,y,z\right)$

met $\mu$ = 0, 1, 2, 3, Op gelijkaardige wijze kan men het verschil tussen twee posities in de ruimtetijd weergeven als volgt:

$\Delta {\vec {X}}:=\left(\Delta ct,\Delta x,\Delta y,\Delta z\right)$

Lorentziaanse inwendig product

Net als gewone vectoren zijn viervectoren uitgerust met een bilineaire vorm, het lorentziaanse inwendig product (geen inwendig product, maar een generalisatie daarvan), gedefinieerd als

${\vec {U}}\cdot {\vec {V}}=\eta _{\mu \nu }U^{\mu }V^{\nu }=\left({\begin{matrix}U^{0}&U^{1}&U^{2}&U^{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}V^{0}\\V^{1}\\V^{2}\\V^{3}\end{matrix}}\right)=U^{0}V^{0}-U^{1}V^{1}-U^{2}V^{2}-U^{3}V^{3}$

In de tweede stap wordt de Einstein-sommatieconventie gehanteerd: over herhaalde indices moet gesommeerd worden.

In het bijzonder geldt dus:

${\vec {U}}\cdot {\vec {U}}=\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=(U^{0})^{2}-(U^{1})^{2}-(U^{2})^{2}-(U^{3})^{2}$

Soms wordt een andere tekenconventie gebruikt, waarbij de matrix $\eta _{\mu \nu }$ tegengestelde tekens op de diagonaal heeft: $(-1,1,1,1)$.

Lorentztransformaties

In speciale relativiteitstheorie worden de Galileïsche coördinatentransformaties vervangen door lorentztransformaties. Deze beschrijven hoe coördinaten veranderen als men van inertiaalstelsel verandert, dat wil zeggen overstapt naar een stelsel dat met een constante snelheid ten opzichte van het eerste beweegt. Als deze snelheid in de (positieve of negatieve) x-richting is, dan geldt:

${\begin{cases}t'&=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{cases}}$

met $\ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ de lorentzfactor. Men kan dit ook in matrixvorm schrijven:

${\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\ .$

met $\beta ={\frac {v}{c}}$ en $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$.

Als de relatieve snelheid v van de stelsels in een willekeurige richting is dan krijgen we, in blokmatrixnotatie:

${\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf {r'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {\boldsymbol {\beta }}^{\mathrm {T} }\\-\gamma {\boldsymbol {\beta }}&\mathbf {I} +(\gamma -1){\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\beta }}^{\mathrm {T} }/\beta ^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}\,,$

waarbij I de 3×3 eenheidsmatrix is, β = v/c, en T transponering aangeeft.

Deze symmetrische matrix is van toepassing bij een verandering van inertiaalstelsel zonder rotatie, en met gelijkblijvende oorsprong, ook voor alle andere typen viervectoren.

Einsteinnotatie

In einsteinnotatie met onderscheid tussen covariante viervectoren (zoals de vierpositie) en contravariante viervectoren, zoals hierboven al toegepast, geldt voor een met contravariante viervector $U^{\mu }$ geassocieerde covariante vector $U_{\nu }$:

$U_{\nu }=\eta _{\mu \nu }U^{\mu }$

en omgekeerd:

$U^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }U_{\nu }$

hierbij is $\eta ^{\mu \nu }$ de inverse matrix van $\eta _{\mu \nu }$, die dezelfde elementen heeft, de matrix is de metrische tensor diag(1,-1,-1,-1).

De lorentzinvariantie houdt zoals gezegd in dat $\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=U^{\mu }U_{\nu }$ niet van het inertiaalstelsel afhangt.

Voorbeelden

Vierpositie

De al genoemde vierpositie/ruimtetijdpositie is van de vorm ${\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}$. Voor een object krijgt men als functie van de eigentijd $\tau \,$ dus ${\begin{bmatrix}ct(\tau )\\\mathbf {r} (\tau )\end{bmatrix}}$.

Er geldt dat $c^{2}(\Delta t)^{2}-||\Delta \mathbf {r} ||^{2}$ niet van het inertiaalstelsel afhangt.

Viersnelheid

De viersnelheid V van een object is de afgeleide van de ruimtetijdpositie als functie van de eigentijd, $\gamma {\begin{bmatrix}c\\\mathbf {v} \end{bmatrix}}$, met $\mathbf {v}$ de gewone snelheid.

Er geldt $\eta _{\mu \nu }\mathbf {V} ^{\mu }\mathbf {V} ^{\nu }=\mathbf {V} ^{\mu }\mathbf {V} _{\nu }=c^{2}$.

Viermomentum

Het viermomentum is de viervector corresponderend met het momentum. Het is de rustmassa m₀ maal de viersnelheid:

$\mathbf {P} =m_{0}\gamma {\begin{bmatrix}c\\\mathbf {v} \end{bmatrix}}$

Vierkracht

De vierkracht is de viervector corresponderend met kracht. Het is de afgeleide naar de eigentijd van het viermomentum:

${\vec {F}}={d{\vec {P}} \over d\tau }$.

We kunnen nu de veralgemening van de tweede wet van Newton opschrijven in de vorm van viervectoren:

${\vec {F}}=m{\vec {A}}=\left(\gamma {d\gamma \over dt}mc,\gamma {\vec {f}}\right)$

met

${\vec {f}}=m\left({d\gamma \over dt}{\vec {v}}+\gamma {d{\vec {v}} \over dt}\right)$.

Zie ook

• Vierstroom
• Vierpotentiaal (de viervector geassocieerd aan de elektrische en magnetische potentiaal)
• Viergradiënt
• Speciale relativiteitstheorie
• Tensoren in de algemene relativiteitstheorie

Referenties

• Charles W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler, Gravitation, ISBN 0716703440
• Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edn.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5
• R. d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, ISBN 0198596863

Bronnen, noten en/of referenties