Schwarzschildmetriek

Algemene relativiteitstheorie
$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$
(de einstein-vergelijking)
Achtergrond Speciale relativiteit Equivalentieprincipe · Wereldlijn Coördinaat-onafhankelijkheid Wiskundige achtergrond: tensoren Metrische tensor
Vergelijkingen Einstein-vergelijking Friedmannvergelijking ADM-formalisme
Oplossingen Schwarzschildmetriek Reissner-Nordströmmetriek Kerrmetriek
Experimentele verificatie Gravitationeel lenseffect Zwarte gaten Perihelium-precessie
Gevorderde onderwerpen Kaluza-klein-theorie Kwantumgravitatie
Wetenschappers Einstein · Minkowski · Eddington Lemaître · Schwarzschild Friedmann · Chandrasekhar Hawking

De schwarzschildmetriek (genoemd naar Karl Schwarzschild) is een exacte, asymptotisch vlakke, statische en sferisch symmetrische metrische tensor die een oplossing is van de einstein-vergelijking in het geval van een puntmassa. Deze beschrijft onder meer tijddilatatie door beweging en door nabijheid van een sferisch symmetrische massa. Hij beschrijft daarmee ook hoe een zwart gat er uit ziet volgens de algemene relativiteitstheorie.

Geschiedenis en context

De algemene relativiteitstheorie van Einstein volgde de gravitatietheorie van Newton op als een meer precieze beschrijving van zwaartekracht. Hoewel eleganter, is de theorie van Einstein wiskundig moeilijker. Ook de evolutie van gravitationele systemen is moeilijker te beschrijven. De relatief eenvoudige gravitatiewet van Newton wordt immers vervangen door de (veel ingewikkeldere) Einstein-vergelijkingen. Toen Einstein zijn theorie publiceerde, was het niet duidelijk of er wel exacte oplossingen van zijn vergelijkingen zouden bestaan. (Oorspronkelijk dacht hij zelf van niet.) Daarnaar werd echter wel gezocht, aangezien zo een oplossing veel inzicht zou verstrekken in de geometrie en gravitatie rondom een puntmassa in relativiteitstheorie. Het was dan ook een verrassing dat amper een jaar na het publiceren van zijn theorie (in 1916) een exacte oplossing verscheen. Deze werd gevonden door Karl Schwarzschild. De oplossing zegt hoe de metriek er uit ziet rondom een puntmassa. Dat geeft meteen ook inzicht in de beweging van andere kleine massa's in de aanwezigheid van een grote centrale massa. Maar de oplossing die Schwarzschild vond, heeft een bijzondere eigenschap. Er is een punt waar de gravitationele aantrekking zo groot is, dat geen voorwerpen kunnen ontsnappen. Dit noemt men waarnemingshorizon. Hoewel men zou kunnen stellen dat dit de oplossing onrealistisch maakt, heeft dit een diepere betekenis. Vandaag de dag weten we dat, indien men de massa van een voorwerp samenperst in een punt, het object een zwart gat vormt. Omdat voor de oplossingen van Schwarzschild de massa in één punt wordt verondersteld, heeft de oplossing automatisch de structuur van een zwart gat. De straal (afstand tot centrale massa) op dewelke de horizon zich bevindt, noemt men nu de Schwarzschildstraal.

De oplossing

De metriek van Schwarzschild ziet er uit als volgt:

$c^{2}d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)$

Hierbij is $\tau$ de eigentijd van een plaatselijk testdeeltje, $t$ de tijdscoördinaat voor een waarnemer op afstand, $r$ de radiële parameter en $\theta$ en $\phi$ de azimutale en polaire hoek. De parameter $r_{s}$ is gegeven door

$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ (de schwarzschildstraal)

met G de gravitatieconstante en $c$ de lichtsnelheid. (Merk op dat bij het ontbreken van een centrale massa dit reduceert tot het geval van tijdachtige scheiding in een Minkowski-ruimte).

$d\tau =0$ betekent voor een object met rustmassa (dat dus niet met de lichtsnelheid beweegt) dat het voor de waarnemer op afstand lijkt stil te staan, doordat de plaatselijke tijd lijkt stil te staan. Bij een radiale beweging is dit voor $r=r_{s}/(1-v/c)$

$d\tau =0$ geldt altijd voor fotonen. We zien dus dat de radiale lichtsnelheid in de hier gebruikte coördinaten $\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c$ is.

Als het voorwerp naar de centrale massa toe beweegt kan het dus niet op kleinere afstand van het middelpunt van de centrale massa waargenomen worden dan op deze afstand. De afstand is het kleinst bij een kleine snelheid, dan benadert deze $r_{s}$. Benadering op deze afstand zonder in de centrale massa binnen te dringen is alleen aan de orde als de straal van de centrale massa kleiner is, dit is bij een zwart gat.

De metriek wordt singulier: de $g_{tt}$-component wordt nul en de $g_{rr}$-component wordt oneindig. Deze plaats (eigenlijk een sfeer) komt overeen met de horizon van het zwart gat. Een voorwerp dat hier voorbijgaat, kan niet meer terugkeren naar de buitenwereld. De straal van het zwart gat is dus $r_{s}$, en noemt men de Schwarzschildstraal.

$ds=0$ betekent bij een cirkelbaan om de centrale massa $r=r_{s}/(1-v^{2}/c^{2})$.

Invullen van de baansnelheid geeft $r=1,5r_{s}$.

Zie ook

• Reissner-Nordströmmetriek
• Kerrmetriek

Referenties

• Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstein'schen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 189-196.

• Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 424-?.