Warmtestraling

Warmtestraling is elektromagnetische straling die een object uitzendt als gevolg van de temperatuur van het object.

De wet van Rayleigh-Jeans

Het zwarte lichaamspectrum bij 310K(bvb.een mens) volgens de Planck wet en volgens de Rayleigh-Jeans wet. Bij de Rayleigh-Jeans wet is er een divergentie voor λ→0. Deze divergentie wordt de ultravioletcatastrofe genoemd omdat ze langs de ultraviolet kant(blauwe kant) van het spectrum ligt. Bij de Planck wet zien we dat de intensiteit(I=w_ν) van straling met zeer korte golflengte(of hoge energie) nul wordt, wat overeenkomt met wat men experimenteel waarneemt.

In 1900 stelden Lord Rayleigh en Jeans het volgende redenering voor warmtestraling voor;

Stellen we ons een holle ruimte of caviteit voor met volume V waarvan de wanden een temperatuur T hebben, dan zenden deze wanden warmtestraling uit. In thermisch evenwicht vormt dit het zwarte lichaamspectrum bij temperatuur T. Bij dit evenwicht bestaat deze warmtestraling in de vorm van staande golven(wegens interferentie) met knopen op de wanden. In dit systeem is de totale energie in de caviteit niets anders dan de som van de energieën van alle mogelijke staande golven.

De spectrale stralingsenergiedichtheid $w_{\nu }$ is dan

$w_{\nu }={\frac {N_{\nu }}{V}}\epsilon$

met $N_{\nu }={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}V$ het aantal staande golven met frequentie $\nu$, V het volume van de caviteit en $\epsilon =kT$ de gemiddelde energie van de golven. De stralingswet van Rayleigh-Jeans wordt dan:

$w_{\nu }={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}kT$

of gegeven als functie van de golflengte $\lambda$

$w_{\lambda }={\frac {8\pi k}{\lambda ^{5}}}\lambda T.$

Deze wet komt enkel voor grote golflengten goed overeen met het experiment. Voor kleine golflengten gaat $w_{\nu }$→∞ terwijl experimenteel wordt gevonden dat $w_{\nu =0}=0$. Dit onrealistisch gedrag staat bekend als de ultravioletcatastrofe.

Wet van Planck en de wet van Stefan-Boltzmann

Drie zwarte lichaamspectra volgens de Planck wet. Enkele zaken zijn hier duidelijk zichtbaar (I) Bij hogere temperatuur ligt de maximum intensiteit bij kortere golflengten.(II) Bij hogere temperatuur is de totaal uitgezonden hoeveelheid energie(i.e. de oppervlakte onder de curve) hoger, zoals intuïtief reeds verwacht kon worden.(III) Bij hogere temperatuur is de intensiteit van de straling die het meest wordt uitgezonden ook hoger.

De discrepantie tussen theorie en experiment werd opgelost door Planck. Hij moest hiervoor echter wel een hypothese invoeren die volledig afweek van de klassieke concepten.

De energie van een elektromagnetische golf is gekwantiseerd.

of anders gezegd, de golven in de caviteit konden enkel nog energieën hebben van de vorm $\epsilon =nh\nu$ waarbij n een geheel getal is.

De stralingsenergiedichtheid wordt in dit geval

$w_{\nu }={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}{\frac {h\nu }{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}$

of in functie van de golflengte $\lambda$

$w_{\lambda }={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}$

zodat de spectrale exitantie (energie die per seconde per vierkante meter per golflengte) volgens de wet van Planck wordt

$E_{\lambda }={\frac {c}{4}}w_{\lambda }={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}.$

Wordt dit nu over alle golflengten geintegreert dan wordt dit

$E=\int _{0}^{\infty }{E_{\lambda }d\lambda }={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}T^{4}$

of de wet van Stefan-Boltzmann

$E=\sigma T^{4}$

die aangeeft hoeveel energie een voorwerp per seconde verliest per oppervlakte-eenheid.

De golflengte in het spectrum van de warmtestraling van een object die het meest intens is wordt gegeven door

$\lambda _{max}T=2.897756x10^{-3}mK$

zodat uit het licht dat een voorwerp uitzendt meteen de temperatuur kan afgeleid worden. Dit is de wet van Wien.

Enkele voorbeelden

Warmteverlies in woningen

Warmtestraling is, samen met conductie en convectie, een manier waarop warmte uit een gebouw ontsnapt. Warmteverlies door straling speelt vooral een rol in spouwmuren, ramen en bij de overgang van de binnenmuur naar de binnenomgeving. Daarom worden in spouwmuren en ramen speciale lagen (met een kleine emissiecoëfficiënt) toegepast.

Schatting energie-output en kleur van de zon

De oppervlaktetemperatuur van de zon is ongeveer 5780K zodat uit de wet van Stefan-Boltzmann volgt dat de zon ongeveer

$E=\sigma T^{4}=6.32x10^{4}$

Watt per vierkante meter uitstraalt of een totaal van $3.86x10^{26}$ Watt voor de gehele zon.

Uit de laatste wet kunnen we afleiden wat de golflengte van het licht is die de zon het meest uitzendt:

$\lambda _{max}={\frac {2.897756x10^{-3}mK}{T}}=501x10^{-9}m=501nm$

Dit is groen licht, het licht waar ook het menselijk oog de grootste gevoeligheid heeft.

Deze laatste wet geldt niet enkel voor sterren of hoogovens maar ook bijvoorbeeld voor mensen. Een persoon met een lichaamstemperatuur van 37°C(310K) zal vooral licht uitzenden met een golflengte van 9.34$\mu$m. Dit is infrarood licht, en verklaart ook waarom warmtestraling vaak onterecht wordt verbonden aan infrarode straling (onterecht omdat bij hete voorwerpen de maximale intensiteit bij steeds kortere golflengten zal liggen.)

Hierbij is:

$\lambda$: de golflengte van de warmtestraling;
$h$: 6,6261•10^-34 Js, de constante van Planck;
$c$: 2,99792458•10⁸ ms^-1, de lichtsnelheid;
$e$: het grondtal van de natuurlijke logaritme;
$k$: 1,3807•10^-23 JK^-1, de constante van Boltzmann;
$T$: de temperatuur van het oppervlak uitgedrukt in kelvin;
$\sigma$: 5,67051(19)•10^-8 W m^-2K^-4, de constante van Stefan-Boltzmann

Voor een niet-zwart oppervlak is de uitgestraalde energiestroom kleiner dan die van een zwart lichaam; bovenstaande uitdrukkingen moet dan vermenigvuldigd worden met de emissiecoëfficiënt $\epsilon$, die afhankelijk is van het materiaal van het oppervlak en tussen 0 en 1 ligt:

materiaal	$\epsilon$ (richtwaarde)
aluminiumfolie	0,1
gewalst plaatstaal	0,65 - 0,70
glas	0,94
papier	0,95
witte verf, hoogglans	0,90
zwarte verf, mat	0,97

---

Zie ook warmte, Wet van Kirchhoff, Verdelingswet van Planck, zwart spectrum, zwarte straler