Lineair omhulsel

In de lineaire algebra is, als W een verzameling vectoren binnen een vectorruimte V is, het lineair omhulsel of lineair opspansel van W de doorsnede van alle lineaire deelruimtes van V die W bevatten. Het is zelf ook een lineaire deelruimte. Het is de verzameling van alle eindige lineaire combinaties van de vectoren uit W.

Men noteert het lineair omhulsel van de W als span(W), afgeleid van de Engelse benaming linear span. De vectoren in W worden de opspannende vectoren genoemd en men zegt ook dat het lineair omhulsel door deze vectoren wordt voortgebracht.

Definitie

Het lineair omhulsel span(S) van een deelverzameling S van een vectorruimte V is de kleinste deelruimte van V die S omvat, dus

$S\subseteq D\subseteq V\ {\rm {en}}\ D\ {\rm {lineaire\ ruimte}}\ \Leftrightarrow {\rm {span}}(S)\subseteq D$

Lineair omhulsel van een eindige verzameling vectoren

Zij V een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) K, dan is het lineair omhulsel van de vectoren v₁,...,v_n in V, de deelruimte

$\mathrm {span} (v_{1},\ldots ,v_{n})=\{a_{1}v_{1}+\ldots +a_{n}v_{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.$

Men noteert het lineair omhulsel van de vectoren v₁,...,v_n als span(v₁,...,v_n). Andere notaties zijn <v₁,...,v_n> en [v₁,...,v_n].

Lineair omhulsel van een oneindige verzameling vectoren

Zij V een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) K, dan is het lineair omhulsel van $W\subset V$, de deelruimte die bestaat uit de eindige lineaire combinaties van deze vectoren.

$\mathrm {span} (W)=\{a_{1}w_{1}+\ldots +a_{n}w_{n}:n\in \mathbb {N} ,w_{1},\ldots ,w_{n}\in W,a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.$

Bijzondere gevallen

In het bijzonder geldt:

• $\mathrm {span} (\varnothing )=\{0\}$
• een basis van een vectorruimte heeft als lineair omhulsel de vectorruimte zelf

Verdere eigenschappen

Als een stelsel vectoren S onafhankelijk is, dan is S een basis van de voortgebrachte deelruimte U.
Meer algemeen geldt: als de vectorruimte U wordt voortgebracht door het stelsel S, dan bevat S een basis van U.

De ruimte U blijft het lineair omhulsel van S

• als men aan S een vector uit U toevoegt.
• als men een vector uit S, welke een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit S, verplaatst naar U \ S.
• als men in S een vector vermenigvuldigt met een van nul verschillend getal (scalair).
• als men bij een vector uit S, een andere vector uit S optelt.