Besselfunctie: verschil tussen versies

Naar navigatie springen Naar zoeken springen
860 bytes toegevoegd ,  5 jaar geleden
geen bewerkingssamenvatting
'''Besselfuncties''' zijn oplossingen van de besselse [[differentiaalvergelijking]]. Ze worden zo genoemd naar de wiskundige en astronoom [[Friedrich Bessel|Friedrich Wilhelm Bessel]], die de vergelijking uitwerkte. Hij deed dit met het doel de verstoring te berekenen die drie hemellichamen op elkaars baan uitoefenen; voorbereidend werk was door anderen gedaan, maar Bessels vergelijking was meer algemeen geldig. Besselfuncties worden onderscheiden naar besselfuncties van de eerste soort en van de tweede soort. De besselfunctie van de eerste soort van de orde <math>na</math> wordt genoteerd als <math>J_nJ_a</math>, en die van de tweede soort van de orde <math>na</math> als <math>Y_nY_a</math>.
 
De besselvergelijking kan echter ook worden gebruikt om oplossingen te vinden voor de vergelijkingen van [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]] en van [[Hermann von Helmholtz|Helmholtz]], wanneer daarbij [[cilindercoördinaten]] worden gebruikt. Daardoor zijn besselfuncties vooral van belang bij veel vraagstukken uit de [[wiskundige natuurkunde]], zoals vragen omtrent golfvoortplanting, statische spanning enzovoort. Enkele voorbeelden zijn:
:<math>x^2y''(x)+xy'(x)+(x^2-n^2)y(x)=0\;</math>
 
Oplossingen zijn <math>y(x)=J_a(x)</math> en <math>y(x)=Y_a(x)</math>.
Deze oplossingen worden gegeven door de [[complexe integraal]]:
 
Voor <math>a\notin \Z</math> zijn <math>J_a</math> en <math>J_{-a}</math> lineair onafhankelijk, zodat voor de algemene oplossing geldt:
:<math>y(x)= c_1J_a(x)+c_2J_{-a}(x)</math>
 
in het bijzonder is
:<math>Y_a(x) = \frac{J_a(x) \cos(a\pi) - J_{-a}(x)}{\sin(a\pi)}</math>
 
Voor <math>a=n\in \Z</math> is
:<math>J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)</math>,
dus zijn <math>J_n</math> en <math>J_{-n}</math> lineair afhankelijk.
 
Ook is
:<math>Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x)</math>
waarin
:<math>Y_n(x)=\lim_{a\to n}Y_a(x)</math>
dus zijn ook <math>Y_n</math> en <math>Y_{-n}</math> lineair afhankelijk. Wel zijn <math>J_n</math> en <math>Y_n</math> lineair onafhankelijk, zodat in dit geval de algemene oplossing geschreven kan worden als
:<math>y(x)= c_1J_n(x)+c_2Y_n(x)</math>
 
DezeDe oplossingenbesselfuncties van de eerste soort worden gegeven door de [[complexe integraal]]:
 
:<math>J_n(x)=\frac{1}{2{\pi}i}\oint_{C}\frac{g(x,z)}{z^{n+1}}dz</math>
30.016

bewerkingen

Navigatiemenu