Sinus en cosinus: verschil tussen versies

Naar navigatie springen Naar zoeken springen
31 bytes toegevoegd ,  4 jaar geleden
k
red.
("(bijna)" toegevoegd, ik had niet helemaal gelijk.)
k (red.)
{{Weg|Genomineerd door [[Gebruiker:Rerbun|Rerbun]]: onnodig artikel, alle informatie kan naar mijn mening beter worden samengevoegd in [[Goniometrische functie]]. Het enige dat Sinus en Cosinus met elkaar gemeen hebben is dat het Goniometrische functies zijn. Lijkt me alleen maar verwarrend ze samen één artikel te geven náást het al bestaande [[Goniometrische functie]] artikel. Er bestaat ook in (bijna) geen enkele andere taal een pagina die alleen Sinus en Cosinus beschrijven in hetzelfde artikel (af en toe wel Sinus en Cosinus apart als twee aparte artikelen maar in geen enkele geval samengevoegd). Natuurlijk kan er wel een doorverwijzing worden gemaakt naar [[Goniometrische functie]] vanaf [[Sinus en cosinus]] maar zelfs dat lijkt me onnodig. (verder is het lemma volledig bronloos)|2=2016|3=08|4=15}}
'''Sinus''' en '''cosinus''' zijn onderling samenhangende [[goniometrische functie]]s. Zij worden in de [[wiskunde]] gebruikt als aanduidingen van de verhouding van [[lengte (meetkunde)|lengtes]] van [[lijnstuk]]ken. Later werden van deze verhoudingen [[functie (wiskunde)|functies]] afgeleid. Zo is de sinus de functie met als [[Grafiek (wiskunde)|grafiek]] de bekende golflijn. Merk op dat deze functie periodiek is met [[Periode (wiskunde)|periode]] [[pi (wiskunde)|2π]]. De sinus heeft dus dezelfde waarde voor de [[hoek (meetkunde)|hoeken]] α, α+2π, α+4π, ... De grafiek is op de [[interval (wiskunde)|intervallen]] [2π,4π), [4π,6π), enz. een herhaling van het deel tussen 0 en 2π. Dit komt doordat een hoek van bijvoorbeeld 480° = 1×360°+120°, dus een keer helemaal rond en dan nog eens 120°, als echte hoek gelijk is aan een hoek van 120°. De bijbehorende waarden van sinus resp. cosinus zijn dan ook steeds gelijk.
 
== Hoofdkenmerken==
Deze functie is [[Periode (wiskunde)|periodiek]], met periode [[pi (wiskunde)|2π]]. De sinus heeft dus dezelfde waarde voor de [[hoek (meetkunde)|hoeken]] α, α+2π, α+4π, ... De grafiek is op de [[interval (wiskunde)|intervallen]] [2π,4π), [4π,6π), enz. een herhaling van het deel tussen 0 en 2π. Dit komt doordat een hoek van bijvoorbeeld 480° = 1×360°+120°, dus een keer helemaal rond en dan nog eens 120°, als echte hoek gelijk is aan een hoek van 120°. De bijbehorende waarden van sinus resp. cosinus zijn dan ook steeds gelijk.
 
De constructie en eigenschappen van de cosinus zijn analoog aan die van de sinus. Er geldt:
Sinus en cosinus werden bestudeerd door [[Hipparchus (astronoom)|Hipparchus]] van [[İznik (stad)|Nicaea]] (180–125 v.Chr.), [[Claudius Ptolemaeus]] van [[Alexandria et Aegyptus|Egypte]] (90–165 na Chr.), [[Aryabhata]] (476–550), [[Varahamihira]], [[Brahmagupta]], {{Unicode|[[Al-Chwarizmi|Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī]]}}, [[Abū al-Wafā' al-Būzjānī]], [[Omar Khayyam]], [[Bhāskara II]], [[Nasir al-Din al-Tusi]], [[Ghiyath al-Kashi]] (14e eeuw), [[Ulugh Beg]] (14e eeuw), [[Regiomontanus]] (1464), [[Georg Joachim Rheticus|Rheticus]], en Rheticus' leerling [[Valentin Otho]].
 
De Arabieren introduceerden het begrip ''sinus'' als ''gib'', wat letterlijk ''[[koorde]]'' betekent. In de 12e eeuw werden de Arabische werken vertaald naar het [[Latijn]]. Hierbij werd ''gib'' verward met ''gaib'', dat bocht of boezem betekent. Het Latijnse woord hiervoor is ''sinus''. Ondanks de foute vertaling raakte het begrip toch ingeburgerd.
 
In de oorspronkelijke definitie zijn sinus en cosinus verhoudingen van bepaalde zijden in een [[rechthoekige driehoek]]. De grootte van de driehoek speelt daarbij geen rol; voor een bepaalde hoek zijn de verhoudingen onafhankelijk van de grootte van de driehoek. Dit valt onmiddellijk aan te tonen met [[gelijkvormigheid (meetkunde)|gelijkvormigheid]].
 
Deze definitie heeft een paar voordelen en verschaft de volgende inzichten:
* De sinus en cosinus van elke hoek, ongeacht zijn grootte, valt te bepalen.
* De sinus en cosinus van de hoek van 45° zijn gelijk. Dit blijft als er een aantal keer 180° bij wordt opgeteld.
* De sinus en cosinus van de hoek van 135° zijn elkaars tegengestelde. Dit blijft als er een aantal keer 180° bij wordt opgeteld.
De sinus en de verwante [[goniometrische functie]]s zoals de cosinus, worden bijzonder vaak toegepast, vooral in de studie van [[golf (natuurkunde)|golven]]. Een van de eigenschappen van de sinus is dat de tweede [[afgeleide]] ook een sinus is (met een min-teken). Voor de cosinus geldt een analoge eigenschap. Dit maakt de sinus en de cosinus een oplossing van de [[golfvergelijking]], die een [[differentiaalvergelijking]] van de tweede graad is.
 
Een andere toepassing van de sinusfunctie en andere goniometrische functies is het converteren van een [[Coördinatenstelsel|coördinaat]] in het [[Poolcoördinaten|polaire coördinatenstelsel]] naar het [[Cartesisch coördinatenstelsel|Cartesischecartesische coördinatenstelsel]]. De ''x''- en ''y''-coördinaat in een assenstelsel worden berekend via:
:<math>x=r\,\cos(\theta)</math>
en

Navigatiemenu