Affiene transformatie: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud

In de regel

Versie van 15 sep 2017 00:13

Een affiene transformatie is een transformatie van de affiene meetkunde, waarbij de meetkundige structuur hetzelfde blijft: punten blijven punten, lijnen blijven rechten, vlakken blijven vlakken en evenwijdige lijnen blijven evenwijdig.

Als $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ de coördinaten zijn van een punt $x$ in de $n$ -dimensionale affiene meetkunde, worden de coördinaten van het beeld $T(x)$ onder een affiene transformatie $T$ bepaald door:

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}

,

waarin $A=(a_{ij})$ de matrix is van een lineaire afbeelding van de ruimte en $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$ de coordinaten zijn van een translatievector $b$ .

Als de matrix $A$ de eenheidsmatrix is, spreekt men van een translatie. Als $A$ een veelvoud is van de eenheidsmatrix, spreekt men van een vermenigvuldiging. De translaties en vermenigvuldigingen vormen een groep, namelijk die van de dilataties.

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
 Een '''affiene transformatie''' is een [[Transformatie (wiskunde)|transformatie]] van de [[affiene meetkunde]], waarbij de meetkundige [[Wiskundige structuur|structuur]] hetzelfde blijft: [[Punt (wiskunde)|punten]] blijven punten, [[Lijn (meetkunde)|lijnen]] blijven rechten, [[Vlak (meetkunde)|vlakken]] blijven vlakken en [[evenwijdig]]e lijnen blijven evenwijdig.
-Als <math>(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math> de coördinaten zijn van een punt in de <math>n</math>-[[Dimensie (algemeen)|dimensionale]] affiene meetkunde, wordt een affiene transformatie voorgesteld door:
+Als <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> de coördinaten zijn van een punt <math>x</math> in de <math>n</math>-[[Dimensie (algemeen)|dimensionale]] affiene meetkunde, worden de coördinaten van het beeld <math>T(x)</math> onder een affiene transformatie <math>T</math> bepaald door:
-:<math>\left(\begin{array}{c}
+:<math>
+\begin{pmatrix}
-x_1\\
-x_2\\
-\vdots\\
-x_n\end{array}
-\right) \rightarrow \left(\begin{array}{cccc}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
 a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\
-\end{array}
+\end{pmatrix}
-\right)\left(\begin{array}{c}
+\begin{pmatrix}
 x_1\\
 x_2\\
 \vdots\\
-x_n\end{array}
+x_n\end{pmatrix}
-\right)+\left(\begin{array}{c}
++\begin{pmatrix}
 b_1\\
 b_2\\
 \vdots\\
-b_n\end{array}
+b_n\end{pmatrix}</math>,
-\right),</math>
-waarin <math>A = (a_{ij})</math> de [[Matrix (wiskunde)|matrix]] is van een [[lineaire afbeelding]] van de ruimte en <math>\vec{B} = (b_1, b_2, \cdots, b_n)</math> de translatievector is.
+waarin <math>A = (a_{ij})</math> de [[Matrix (wiskunde)|matrix]] is van een [[lineaire afbeelding]] van de ruimte en <math>b_1, b_2, \ldots, b_n</math> de coordinaten zijn van een translatievector <math>b</math>.
 Als de matrix <math>A</math> de [[eenheidsmatrix]] is, spreekt men van een [[Translatie (meetkunde)|translatie]]. Als <math>A</math> een [[Veelvoud (wiskunde)|veelvoud]] is van de eenheidsmatrix, spreekt men van een [[Vermenigvuldiging (meetkunde)|vermenigvuldiging]]. De translaties en vermenigvuldigingen vormen een groep, namelijk die van de dilataties.