Dynamisch systeem: verschil tussen versies

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Madyno (overleg | bijdragen)
Geen bewerkingssamenvatting
opmerking over discreet systeem, met niet van toepassing zijnde links naar continue systemen, voorlopig weg. Details over een lineair tijdinvariant systeem hier weg.
Regel 1: Regel 1:
In de [[systeemtheorie]] is een '''dynamisch systeem''' een [[systeem (wetenschap)|systeem]] dat zich in een tijdsafhankelijke [[toestand (systeemtheorie)|toestand]] bevindt, waarbij de toestand na een bepaald moment volledig bepaald wordt door de toestand op dat moment en de acties die de omgeving vanaf dat moment op het systeem uitoefent. Een systeem waarbij de toestand na een bepaald moment mede bepaald wordt door het verleden van het systeem kan ook onder dit model gebracht worden door de toestand te herdefiniëren zo dat het relevante verleden (het "geheugen" van het systeem) onderdeel van de toestand wordt gemaakt.
In de [[systeemtheorie]] is een '''dynamisch systeem''' een [[Systeem (systeemtheorie|systeem]] dat zich in een tijdsafhankelijke [[toestand (systeemtheorie)|toestand]] bevindt, waarbij de toestand na een bepaald moment volledig bepaald wordt door de toestand op dat moment en de acties die de omgeving vanaf dat moment op het systeem uitoefent. Een systeem waarbij de toestand na een bepaald moment mede bepaald wordt door het verleden van het systeem kan ook onder dit model gebracht worden door de toestand te herdefiniëren zo dat het relevante verleden (het "geheugen" van het systeem) onderdeel van de toestand wordt gemaakt.


De "tijd" kan in het model continu zijn of in discrete stappen verlopen. In het laatste geval zijn soms de tijdsintervallen niet relevant, maar gaat het slechts om de volgorde van de toestanden. Een voorbeeld is een [[schaakpartij]] zonder tijdmeting; de toestand wordt gegeven door de stand van de stukken, de kleur die aan zet is, en enkele tellers in verband met [[remise (bordspel)#Remise_bij_schaken|remise]]; de acties zijn de zetten). In dat geval ligt nummering van de toestanden meer voor de stand dan er tijden aan te koppelen.
De "tijd" kan in het model continu zijn of in discrete stappen verlopen. In het laatste geval zijn soms de tijdsintervallen niet relevant, maar gaat het slechts om de volgorde van de toestanden. Een voorbeeld is een [[schaakpartij]] zonder tijdmeting; de toestand wordt gegeven door de stand van de stukken, de kleur die aan zet is, en enkele tellers in verband met [[remise (bordspel)#Remise_bij_schaken|remise]]; de acties zijn de zetten). In dat geval ligt nummering van de toestanden meer voor de stand dan er tijden aan te koppelen.


De toestand wordt (in een wiskundig [[model (wetenschap)|model]] van het systeem) vaak beschreven met een of meer getallen. Het aantal getallen dat nodig is, heet de ''orde'' van het systeem. Het eenvoudigste dynamische systeem is dus een [[eerste-ordesysteem]] (het geheugen gaat slechts één tijdstap ver), gevolgd door een [[tweede-ordesysteem]] (met een geheugen van twee tijdsstappen), enzovoort.
De toestand wordt (in een wiskundig [[model (wetenschap)|model]] van het systeem) vaak beschreven met een of meer getallen die van de tijd afhangen.


Bij een systeem gaat het vaak om een relatie tussen een inputsignaal (ook excitatie genoemd) en een outputsignaal.
Een andere, in de praktijk van de [[regeltechniek]] belangrijke, eigenschap van een dynamisch systeem is of zijn gedrag al dan niet [[lineariteit|lineair]] is. Dit betekent dat een bepaalde actie op het systeem resulteert in een evenredig grote reactie van het systeem.


Een belangrijke eigenschap van een dynamisch systeem is of zijn gedrag al dan niet [[lineariteit|lineair]] is. Dit betekent dat de respons op een lineaire combinatie van excitaties gelijk is aan dezelfde lineairecombinatie van de responsen op de afzonderlijke excitaties.
Een belangrijke klasse van dynamische systemen zijn de [[LTC-systeem|LTC-systemen]] (Lineaire Tijdinvariante Continue systemen). Deze hebben als bijzondere eigenschap dat ze naast lineair ook tijdinvariant zijn. Ze kunnen worden beschreven door lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten.


Tijdinvariantie betekent dat, indien de excitaties in de tijd worden verschoven, de responsen ongewijzigd blijven, behalve dat ze over een gelijk tijdsinterval worden verschoven als de excitaties. Het wil ''niet'' zeggen dat de toestand tijdinvariant is.
De reactie van een lineair dynamisch systeem na een bepaald soort verstoring (een [[diracpuls]] of ''stap'' bijvoorbeeld) kan worden beschreven als een product en/of een som van [[e (wiskunde)|e-macht]]en, [[sinus en cosinus|sinussen en cosinussen]]. Deze volgen uit het oplossen van een [[differentiaalvergelijking]] waarvan de orde gelijk is aan de orde van het systeem.

Een dynamisch systeem met beide eigenschappen is een [[lineair tijdinvariant systeem]].


Een lineair (dynamisch) systeem is slechts een model: een werkelijk systeem gedraagt zich hooguit bij benadering lineair, en dan nog vaak alleen binnen bepaalde grenzen. Deze vereenvoudiging heet [[lineariseren]], en het nut hiervan is dat het mogelijk is met relatief eenvoudige middelen het gedrag van het systeem te beschrijven en te [[regelaar|regelen]].
Een lineair (dynamisch) systeem is slechts een model: een werkelijk systeem gedraagt zich hooguit bij benadering lineair, en dan nog vaak alleen binnen bepaalde grenzen. Deze vereenvoudiging heet [[lineariseren]], en het nut hiervan is dat het mogelijk is met relatief eenvoudige middelen het gedrag van het systeem te beschrijven en te [[regelaar|regelen]].

Versie van 29 jun 2020 07:21

In de systeemtheorie is een dynamisch systeem een systeem dat zich in een tijdsafhankelijke toestand bevindt, waarbij de toestand na een bepaald moment volledig bepaald wordt door de toestand op dat moment en de acties die de omgeving vanaf dat moment op het systeem uitoefent. Een systeem waarbij de toestand na een bepaald moment mede bepaald wordt door het verleden van het systeem kan ook onder dit model gebracht worden door de toestand te herdefiniëren zo dat het relevante verleden (het "geheugen" van het systeem) onderdeel van de toestand wordt gemaakt.

De "tijd" kan in het model continu zijn of in discrete stappen verlopen. In het laatste geval zijn soms de tijdsintervallen niet relevant, maar gaat het slechts om de volgorde van de toestanden. Een voorbeeld is een schaakpartij zonder tijdmeting; de toestand wordt gegeven door de stand van de stukken, de kleur die aan zet is, en enkele tellers in verband met remise; de acties zijn de zetten). In dat geval ligt nummering van de toestanden meer voor de stand dan er tijden aan te koppelen.

De toestand wordt (in een wiskundig model van het systeem) vaak beschreven met een of meer getallen die van de tijd afhangen.

Bij een systeem gaat het vaak om een relatie tussen een inputsignaal (ook excitatie genoemd) en een outputsignaal.

Een belangrijke eigenschap van een dynamisch systeem is of zijn gedrag al dan niet lineair is. Dit betekent dat de respons op een lineaire combinatie van excitaties gelijk is aan dezelfde lineairecombinatie van de responsen op de afzonderlijke excitaties.

Tijdinvariantie betekent dat, indien de excitaties in de tijd worden verschoven, de responsen ongewijzigd blijven, behalve dat ze over een gelijk tijdsinterval worden verschoven als de excitaties. Het wil niet zeggen dat de toestand tijdinvariant is.

Een dynamisch systeem met beide eigenschappen is een lineair tijdinvariant systeem.

Een lineair (dynamisch) systeem is slechts een model: een werkelijk systeem gedraagt zich hooguit bij benadering lineair, en dan nog vaak alleen binnen bepaalde grenzen. Deze vereenvoudiging heet lineariseren, en het nut hiervan is dat het mogelijk is met relatief eenvoudige middelen het gedrag van het systeem te beschrijven en te regelen.

Zie ook