Palindroomgetal: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud

In de regel

Versie van 9 jul 2020 17:51

Een palindroomgetal, ook bekend als numeriek palindroom, is een natuurlijk getal dat hetzelfde blijft wanneer zijn cijfers in omgekeerde volgorde worden geschreven. Met andere woorden: het is "symmetrisch", zoals (bijvoorbeeld) 16461. De term is afgeleid van palindroom, zijnde een woord (zoals rotor or parterretrap) dat ongewijzigd blijft wanneer zijn letters in omgekeerde volgorde worden geschreven. De eerste 30 palindroomgetallen (in het decimaal talstelsel) zijn:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, … ^[1]

Palindroomgetallen vangen de meeste aandacht op het gebied van de recreatieve wiskunde (wiskunde ter vermaak). Een typerende opgave vraagt naar getallen die een zekere eigenschap bezitten en palindroom zijn. Bijvoorbeeld:

De palindroompriemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, … ^[2]
De palindroom-kwadraten zijn 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, … ^[3]

Formele definitie

Hoewel palindroomgetallen meestal worden beschouwd in het decimaal talstelsel, kan het concept van palindroomheid op de natuurlijke getallen in ieder willekeurig talstelsel worden toegepast. Beschouw een getal $n>0$ in grondtal $b>2$ , waar het in standaardnotatie wordt geschreven met $k+1$ cijfers $a_{i}$ als:

n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}

met, zoals gebruikelijk, $0\leq a_{i}<b$ voor alle $i$ en $a_{k}\neq 0$ . Dan heet $n$ dan en slechts dan een palindroomgetal als $a_{i}=a_{k-i}$ voor alle $i$ . Het getal nul wordt geschreven als 0 in ieder talstelsel, en is per definitie een palindroomgetal.

Decimale (tientallige) palindroomgetallen

Decimale palindroomgetallen met een even aantal cijfers zijn altijd deelbaar door 11.
Alle getallen (ook die in andere dan het decimaal talstelsel) die uit één cijfer bestaan, zijn een palindroom. In het decimaal stelsel zijn dat er tien:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Het aantal palindroomgetallen met twee cijfers is 9:

11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

Er zijn 90 palindroomgetallen met drie cijfers: 9 keuzemogelijkheden voor het eerste cijfer – dat tevens het laatste cijfer bepaalt – maal 10 keuzemogelijkheden voor het tweede cijfer:

101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, …, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999

Evenzo zijn er 90 palindroomgetallen met vier cijfers, omdat de keuze van het tweede cijfer tevens het derde bepaalt:

1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, …, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999

Derhalve zijn er 199 palindroomgetallen onder de 10.000 (10⁴). Tot 10⁵ zijn er 1099, en voor de volgende exponenten van 10ⁿ zijn er: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, … ^[4]

Zie ook

Externe links

Weisstein, Eric W., Palindromic Number. MathWorld.
On General Palindromic Numbers at MathPages
Palindromic Numbers to 100,000 from Ask Dr. Math
P. De Geest, Palindromic cubes

Referenties

(en) Malcolm E. Lines: A Number for Your Thoughts: Facts and Speculations about Number from Euclid to the latest Computers: CRC Press 1986, ISBN 0-85274-495-1, S. 61 (Limited Online-Version (Google Books))
Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Palindromic number op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.

↑ (en) Palindromes in base 10, OEIS A002113
↑ (en) Palindromic primes: prime numbers whose decimal expansion is a palindrome, OEIS A002385
↑ (en) Palindromic squares, OEIS A002779
↑ (en) Number of palindromes of length <= n, OEIS A070199

[1] (en) Palindromes in base 10, OEIS A002113

[2] (en) Palindromic primes: prime numbers whose decimal expansion is a palindrome, OEIS A002385

[3] (en) Palindromic squares, OEIS A002779

[4] (en) Number of palindromes of length <= n, OEIS A070199

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Regel 7: / Regel 7: @@
 == Formele definitie ==
-Hoewel palindroomgetallen meestal worden beschouwd in het [[decimaal talstelsel]], kan het concept van ''palindroomheid'' op de [[natuurlijk getal|natuurlijke getallen]] in ieder willekeurig [[talstelsel]] worden toegepast. Beschouw een getal ''n''&nbsp;>&nbsp;0 in [[grondtal]] ''b''&nbsp;≥&nbsp;2, waar het in standaardnotatie wordt geschreven met ''k''+1 [[cijfer]]s ''a''<sub>''i''</sub> als:
+Hoewel palindroomgetallen meestal worden beschouwd in het [[decimaal talstelsel]], kan het concept van ''palindroomheid'' op de [[natuurlijk getal|natuurlijke getallen]] in ieder willekeurig [[talstelsel]] worden toegepast. Beschouw een getal <math>n>0</math> in [[grondtal]] <math>b>2</math>, waar het in standaardnotatie wordt geschreven met <math>k+1</math> [[cijfer]]s <math>a_i</math> als:
 :<math>n=\sum_{i=0}^ka_ib^i</math>
+met, zoals gebruikelijk,
-met, zoals gebruikelijk, 0&nbsp;≤&nbsp;''a''<sub>''i''</sub>&nbsp;<&nbsp;''b'' voor alle ''i'' en ''a''<sub>''k''</sub>&nbsp;≠&nbsp;0. Dan heet ''n'' een palindroomgetal indien en uitsluitend indien ''a''<sub>''i''</sub>&nbsp;=&nbsp;''a''<sub>''k''&minus;''i''</sub> voor alle ''i''. Het getal [[0 (getal)|nul]] wordt geschreven als 0 in ieder talstelsel, en is per definitie een palindroomgetal.
+<math>0 \le a_i < b</math> voor alle <math>i</math> en <math>a_k \ne 0</math>. Dan heet <math>n</math> dan en slechts dan een palindroomgetal als  <math>a_i=a_{k-i}</math> voor alle <math>i</math>. Het getal [[0 (getal)|nul]] wordt geschreven als 0 in ieder talstelsel, en is per definitie een palindroomgetal.
 == Decimale (tientallige) palindroomgetallen ==