Inversie (meetkunde)

Inversie is een afbeelding uit de meetkunde. Het is een soort spiegeling in een cirkel. Het beeld van een punt onder inversie heet zijn inverse.

Definitie

We nemen een cirkel C met middelpunt M en straal r. Gegeven een punt P, dan is de inverse van P in C het punt Q op de halfrechte MP zodat

$MP\cdot MQ=r^{2}.$

• r² heet de macht van inversie,
• M is het centrum van inversie.

Eigenschappen

• De inverse van de inverse van een punt is het punt zelf.
• Inversie beeldt lijnen en cirkels af op cirkels of lijnen. Deze lijnen kunnen worden opgevat als cirkels met oneindige straal en middelpunt op de oneindig verre rechte.
• De middelpunten van een cirkel en zijn inverse zijn collineair met M.
• Cirkels die C loodrecht snijden zijn invariant onder inversie.
• Inversie behoudt hoeken.
• Als A en B de snijpunten zijn van MP met C, dan liggen (A,B) en (P,Q) harmonisch.

Constructie

Constructie van inversie.

• Constructie van de inverse Q van een punt P in het inwendige van C:

1. 1. Construeer de lijn d door P loodrecht op MP
   2. Snijdt d met C, noem de snijpunten R en R',
   3. Construeer de cirkel door M, R en R',
   4. Het tweede snijpunt van deze cirkel en MP is het gezochte punt Q.

• Constructie van de inverse P van een punt Q in het uitwendige van C:

1. 1. Construeer de cirkel met diameter MQ,
   2. Snijdt de twee cirkels, noem de snijpunten R en R',
   3. Het snijpunt van RR' en MQ is het gezochte punt P.

Zie ook

• Middencirkel