Topologische groep

In de wiskunde zijn de topologische groepen tegelijkertijd groepen en topologische ruimten zodanig dat de groepsstructuur en de topologische structuur compatibel zijn. Concreet betekent dit voor een groep (G,*) dat de vermenigvuldiging en de inversie continu zijn.

In deze definitie wordt de vermenigvuldiging opgevat als een afbeelding van het Cartesisch product GxG, uitgerust met de producttopologie, naar G zelf.

Voorbeelden

Beschouw de volgende eenvoudige voorbeelden van topologische groepen:

• De reele rechte voorzien van de optelling is een groep, en zelfs een abelse groep. Hierbij is de inversie gewoon de tekenwisseling, of nog, de vermenigvuldiging met min een. Deze twee bewerkingen zijn continu voor de standaardtopologie op de reele rechte. In het bijzonder hebben we een abelse topologische groep. Op een geheel analoge manier vormen de complexe getallen een abelse topologische groep voor de optelling.

• Beschouw (R₀,*), de reele rechte, doorprikt in de oorsprong en voorzien van de vermenigvuldiging. Dan is dit een groep. De bewerkingen (de vermenigvuldiging en de multiplicatieve inversie) zijn continu voor de standaardtopologie. In het bijzonder hebben we te maken met een topologische groep. Op een geheel analoge manier kunnen we (C₀,*), het complexe vlak zonder de oorsprong voorzien van de vermenigvuldiging en de standaardtopologie, bekijken als een topologische groep.

Constructies

Merk eerst en vooral op dat er een manier bestaat om elke gegeven groep aan te vullen tot een topologische groep,

• Veronderstel dat (G,*) een willekeurige groep is, zonder enige topologische structuur. Dan kunnen we de discrete topologie op G leggen. Dit is de topologie die er voor zorgt dat elke afbeelding continu is. In het bijzonder zullen de groepsbewerkingen ook continu zijn en we hebben dus een topologische groep. Topologische groepen die de discrete topologie dragen, worden dan de discrete topologische groepen genoemd. De gehele getallen voorzien van de optelling en de discrete topologie vormen zo een discrete groep.

Merk ook op dat een zelfde groep verschillende topologische structuren kan dragen en dus in principe aanleiding kan geven tot veel verschillende topologische groepen. Veronderstel bijvoorbeeld dat de groep (R,+), de reële rechte van hierboven, is. Dan is dit zoals vermeld een topologische groep voor de standaardtopologie. Indien we echter de discrete topologie op (R,+) leggen, verkrijgen we zoals net vermeld werd, ook een topologische groep. Deze objecten worden niet als equivalente topologische groepen beschouwd hoewel de onderliggende groepen duidelijk gelijk zijn. Voor de definitie van equivalentie, zie hieronder. Tenzij het duidelijk is welke topologie er op de groep (G,*) ligt, is het aangeraden ook de topologie T in de notatie te vermelden: (G,T,*).

• Veronderstel dat (G,T,*) een topologische groep is en dat H een deelgroep is van G. Indien H voorzien wordt van de deelruimtetopologie T|_H, dan is (H,T|_H,*) een topologische groep.

• Veronderstel dat (G,T,*) een topologische groep is en dat N een normale deelgroep van G is. Indien de quotientgroep G/N van G door N voorzien wordt van de quotiënttopologie T_G/N, dan is dit een topologische groep. Om te garanderen dat de quotiëntgroep redelijke topologische eigenschappen heeft, wordt er vaak aangenomen dat de normale deelgroep ook gesloten is.

Morfismen

• Een morfisme van een topologische groep (G,T_G,*) naar een topologische groep (H,T_H,.) is een morfisme van groepen van G naar H dat continu is voor de gegeven topologieen.

• Een isomorfisme van een topologische groep (G,T_G,*) met een topologische groep (H,T_H,.) is een morfisme van topologische groepen zodanig dat er een invers morfisme van topologische groepen bestaat. Concreet betekent dit: een isomorfisme van groepen dat tegelijkertijd een homeomorfisme van topologische ruimten is.

Beschouw nogmaals de twee voorbeelden van hierboven: (R,+) en (R₀,*), met de evidente topologieen. De exponentiële afbeelding van de eerste topologische groep naar de tweede, is een continu morfisme van groepen. De logaritmische afbeelding van de tweede naar de eerste, is ook een continu morfisme van groepen. Bovendien zijn deze exponentiële en logaritmische afbeeldingen elkaars inverse. In het bijzonder hebben we te maken met isomorfismen van topologische groepen.

Eigenschappen

In een topologische groep zijn de topologische en de algebraïsche structuren compatibel. Het is dus te verwachten dat ze elkaar gaan beïnvloeden, en dit is ook zo. Beschouw bijvoorbeeld de volgende elementaire eigenschappen van topologische groepen:

• De samenhangende component die het neutrale element bevat, is een normale deelgroep die zelfs gesloten is.

• Topologische groepen zien er in elk punt hetzelfde uit: elke translatie geeft een homeomorfisme van de groep. (Indien de groep niet abels is, hoeven de linker en de rechter translaties niet overeen te komen.) Ook de inversie geeft een homeomorfisme van de groep met zichzelf.

• Voor topologische groepen is de fundamentaalgroep altijd abels.

Zie ook

• Topologie en topologische ruimte.
• Groepen en groepentheorie.
• Compacte groepen en lokaal compacte groepen, topologische groepen met enkele interessante topologische eigenschappen.
• Liegroepen, groepen die niet alleen een topologie, maar zelfs een differentiaalstructuur toelaten.
• Topologische vectorruimten hebben een continue (en zelfs abelse) groepsbewerking, de optelling van vectoren.
• Morfismen, isomorfismen en homeomorfismen.