Multivariate normale verdeling: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud

In de regel

Versie van 8 aug 2007 17:16

In de kansrekening en de statistiek is de multivariate normale verdeling een speciale kansverdeling: het is het analogon van de normale verdeling in meer dimensies. De verdeling wordt ook wel met multidimensionale normale verdeling en multivariate Gaussische verdeling aangeduid.

Definitie

De stochastische vector $X=(X_{1},\dots ,X_{n})$ heeft een multivariate normale verdeling met verwachting $\mu =(\mu _{1},\dots ,\mu _{n})$ en covariantiematrix de positief definiete n×n-matrix Σ, als de kansdichtheid gegeven is door:

f_{X}(x_{1},\dots ,x_{n})=

{\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}|\Sigma |}}}\exp \left(-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(x-\mu )'\ \Sigma ^{-1}(x-\mu )\right).

Daarin is |Σ| de determinant van Σ.

Notatie

Men noteert kort: $X\sim N(\mu ,\Sigma )\,$ .

Net als bij de univariate normale verdeling, is de verdelingsfunctie niet expliciet in gesloten vorm te schrijven.

Speciaal geval: univariate normale verdeling

In het geval n = 1 is de verdeling niet meerdimensionaal, maar de gewone normale verdeling.

Speciaal geval: bivariate normale verdeling

Als n = 2 heet de verdeling ook bivariate normale verdeling. De covariantiematrix wordt vaak geschreven als

\Sigma ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{pmatrix}},

waarin ρ de correlatiecoëfficiënt tussen X₁ en X₂ is.

Eigenschappen

Als $X=(X_{1},\dots ,X_{n})\sim N(\mu ,\Sigma )$ , geldt:

Elke willekeurige lineaire combinatie $Y=a'X=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}$ heeft een (univariate) normale verdeling, met verwachting $a'\,\mu \,$ en variantie $a'\ \Sigma a\,$ .
De karakteristieke functie en momentgenererende functie zijn gegeven zoals vermeld in het overzicht rechtsboven.

Gaussproces

Een Gaussproces is een stochastisch proces waarvan de eindigdimensionale verdelingen (de verdeling van de waardenvector van het proces op een eindige verzameling tijdstippen) normaal zijn. Klassieke voorbeelden van Gaussprocessen zijn: de Brownse beweging en het Ornstein-Uhlenbeckproces.

Sjabloon:Verdelingnavigatie

@@ Regel 4: / Regel 4: @@
   pdf_image  =|
   cdf_image  =|
-  parameters =<math>\mu = (\mu_1, \dots, \mu_n)</math> [[Reëel getal|reële]] [[vector]])<br/><math>\Sigma</math>  [[positief definiet|positief definiete]] reële n×n-[[matrix]]|
+  parameters =<math>\mu = (\mu_1, \dots, \mu_n)</math> [[Reëel getal|reële]] [[vector (wiskunde)|vector]])<br/><math>\Sigma</math>  [[positief definiet|positief definiete]] reële n×n-[[matrix]]|
   support    =<math>x \in\mathbb{R}^n\!</math>|
   pdf        =<math>\frac{{\mathrm e}^{-\frac 12(x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu)}}{\sqrt{(2\pi)^n |\Sigma|}}</math>|
@@ Regel 22: / Regel 22: @@
 == Definitie ==
-De stochastische [[vector]] <math>X = (X_1, \dots, X_n)</math> heeft een ''multivariate normale verdeling'' met verwachting <math>\mu = (\mu_1, \dots, \mu_n)</math> en [[covariantie]]matrix de [[positief definiet]]e n×n-[[matrix]] &Sigma;, als de kansdichtheid gegeven is door:
+De stochastische [[vector (wiskunde)|vector]] <math>X = (X_1, \dots, X_n)</math> heeft een ''multivariate normale verdeling'' met verwachting <math>\mu = (\mu_1, \dots, \mu_n)</math> en [[covariantie]]matrix de [[positief definiet]]e n×n-[[matrix]] &Sigma;, als de kansdichtheid gegeven is door:
 :<math>