Spoor (galoistheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is een spoor een bepaalde functie gedefinieerd met betrekking tot een eindige velduitbreiding L/K, wat een K-lineaire afbeelding is van L naar K.

Zij L een eindige Galois-uitbreiding van K met Galoisgroep G = Gal(L/K). Voor een element α ∈ L is het spoor (van L naar K) van α gedefinieerd als[1]

.

Met andere woorden: TrL/K(α) is de som van de elementen die geconjugeerd zijn aan α. Voor elke α ∈ L geldt dat TrL/K(α) een element is uit K. Veronderstel dat voor een element α ∈ L, een lineaire transformatie Tα : LL bestaat, die gegeven wordt door Tα(β) = αβ. Dan is Tα een homomorfisme over de vectorruimte K en voor het spoor geldt

.

Voorbeeld 1[bewerken | brontekst bewerken]

Zij K = en L = . Als we het spoor van een element α ∈ willen uitrekenen, nemen we de som van de elementen die geconjugeerd zijn aan α oftewel

.

Voorbeeld 2[bewerken | brontekst bewerken]

Zij K een willekeurig lichaam en veronderstel dat L = K(√d) voor een zekere d ∈ K \ K2. Een geschikte basis voor L is {1, √d}. Van een element uit L, α = a + b√d met a, b ∈ K kan het spoor bepaald worden. De lineaire transformatie Tα is gelijk aan aL1 + bL√d. Daartoe moeten de representatiematrices voor L1 en L√d bepaald worden. Bij de identiteitstransformatie L1 hoor de matrix

.

Voor L√d geldt er L√d(1) = √d = 0 * 1 + 1 * √d
L√d(√d) = d = d * 1 + 0 * √d
Hieruit volgt dat de representatiematrix voor L√d wordt . De matrix voor Tα wordt dan gegeven door

.

Dus geldt er

en in het bijzonder

.

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]

Referentie[bewerken | brontekst bewerken]

  1. (en) Steven H. Weintraub, Galois Theory, Springer-Verlag 2009, 79-80