Savić stroomde in 2009 door vanuit de jeugd van BSK Borča. Een seizoen later mocht hij regelmatig meespelen in het eerste team. In februari 2010 was hij tien dagen op proef bij Arsenal. Savić maakte begin 2010/11 een daadwerkelijke transfer naar de toenmalige Servische landskampioen FK Partizan. Hij speelde ook in zijn eerste seizoen voor Partizan regelmatig. In 2011 veroverde hij zijn eerste landstitel met de club.
Savić tekende op 6 juli 2011 een contract voor vier seizoenen bij Manchester City. De Engelse club betaalde circa €6.800.000,- voor hem.[bron?] Savić droeg dat seizoen bij aan het eerste landskampioenschap van Manchester City in 44 jaar. Zelf was hij daarbij betrokken in elf competitiewedstrijden, onder meer met één doelpunt.
Savić verliet in augustus 2012 ook Manchester City na één jaar en tekende bij ACF Fiorentina. Hier groeide hij wel uit tot basisspeler. Hij speelde drie seizoenen voor de club en eindigde daarin drie keer achter elkaar als nummer vier in de Serie A. In het seizoen 2013/14 bereikte Savić met Fiorentina de finale van de Coppa Italia, die SSC Napoli met 1-3 won. In januari 2015 verlengde hij zijn contract bij Fiorentina tot medio 2019.[1]
Savić tekende in juli 2015 een contract tot medio 2020 bij Atlético Madrid, de nummer drie van de Primera División in het voorgaande seizoen.[2] In ruil hiervoor ontving Fiorentina circa €12.000.000,- en bewandelde Mario Suárez de omgekeerde weg.[3]
Savić doorliep de nationale jeugdreeksen van Montenegro en maakte in 2010 zijn debuut in de nationale ploeg. Het was bondscoach Zlatko Kranjčar die hem voor eerst in zijn selectie opnam. Savić' eerste interland was een vriendschappelijke wedstrijd tegen Noord-Ierland op 11 augustus2010. Een jaar later, op 10 augustus2011, scoorde hij twee keer voor de nationale ploeg in de vriendschappelijke uitwedstrijd tegen Albanië, die met 3-2 werd verloren door de Montenegrijnen.
Niet te verwarren met de Oostenrijkse voetballer Stefan Savić, geboren in 1994.
Atlético Madrid
Prva Liga
Premier League
Serie A
· 
· 
·
7 Griezmann ·
8 Saúl ·
9 Depay ·
10 Correa ·
11 Lemar ·
12 Lino ·
13 Oblak ·
14 Llorente ·
15 Savić ·
16 Molina ·
17 Galán ·
18 Vermeeren ·
19 Morata ·
20 Witsel ·
22 Hermoso ·
23 Mandava ·
24 Barrios ·
25 Riquelme ·
Coach: Simeone
· Assistent-coach: López
· Assistent-coach: Vivas