Stelling van Apollonius

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Oppervlakte: groen + blauw = rood

In de meetkunde is de stelling van Apollonius een uitbreiding van de Stelling van Pythagoras die voor een driehoek het verband beschrijft tussen de lengte van een zwaartelijn en de lengten van de zijden.

De stelling zegt dat voor een willekeurige driehoek ABC waarin AD de zwaartelijn vanuit A op de zijde BC is, de volgende betrekking geldt:

Omdat

kan de relatie ook in termen van bijvoorbeeld BD geformuleerd worden:

De stelling, die genoemd is naar Apollonius van Perga, is een speciaal geval van de stelling van Stewart. Voor een rechthoekige driehoek komt de stelling neer op de stelling van Pythagoras. Omdat de diagonalen van een parallelogram elkaar in twee gelijke stukken verdelen, is de stelling equivalent aan de parallellogramwet.

Bewijs[bewerken]

Bewijs van de stelling van Apollonius

De stelling kan bewezen worden als een speciaal geval van de stelling van Stewart, of met behulp van vectoren (zie parallellogramwet). Onderstaand is een onafhankelijk bewijs met behulp van de cosinusregel.

Noem de lengten van de zijden en en van de zwaartelijn . Stel en noem de hoeken tussen de zwaartelijn en de basis en . Dan is en .

Toepassing van de cosinusregel voor en geeft:

Optellen geeft het gevraagde resultaat: