Stelling van Apollonius

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Oppervlakte: groen + blauw = rood

In de meetkunde is de Stelling van Apollonius een uitbreiding van de Stelling van Pythagoras die voor een driehoek het verband beschrijft tussen de lengte van een middellijn en de lengten van de zijden.

De stelling zegt dat voor een willekeurige driehoek ABC waarin AD de middellijn vanuit A op de zijde BC is, de volgende betrekking geldt:

AB^2 + AC^2 = 2\,AD^2+ \tfrac 12 BC^2

Omdat

BD=DC= \tfrac 12 BC

kan de relatie ook in termen van bijvoorbeeld BD geformuleerd worden:

AB^2 + AC^2 = 2(AD^2+ BD^2)

De stelling, die genoemd is naar Apollonius van Perga, is een speciaal geval van de Stelling van Stewart. Voor een rechthoekige driehoek komt de stelling neer op de Stelling van Pythagoras. Omdat de diagonalen van een parallelogram elkaar in tweeën delen, is de stelling equivalent aan de parallellogramwet.

Bewijs[bewerken]

Bewijs van de stelling van Apollonius

De stelling kan bewezen worden als een speciaal geval van de stelling van Stewart, of met behulp van vectoren (zie parallellogramwet). Onderstaand is een onafhankelijk bewijs met behulp van de cosinusregel.

Noem de lengten van de zijden a,b en c en van de middellijn d. Stel m=a/2 en noem de hoeken tussen de middellijn de basis \theta en \theta '. Dan is \theta '=\pi - \theta en \cos(\theta ')=-\cos(\theta).

Toepassing van de cosinusregel voor \theta en \theta ' geeft:

 
b^2 = m^2 + d^2 - 2\,d\,m\,\cos(\theta)
 
c^2 = m^2 + d^2 - 2\,d\,m\,\cos(\theta ') = m^2 + d^2 + 2\,d\,m\,\cos(\theta)

Optellen geeft het gevraagde resultaat:

b^2 + c^2 = 2(m^2 + d^2)