Stelling van Brauer-Siegel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Brauer–Siegel een asymptotisch resultaat over het gedrag van algebraïsche getallenlichamen, dat in het midden van de twintigste eeuw werd verkregen door de Duitse wiskundigen Richard Brauer en Carl Ludwig Siegel. Het probeert de resultaten die bekend zijn over klassegetallen van imaginaire kwadratische velden naar een meer algemene reeks van getallenlichamen te veralgemenen

K_1, K_2, \ldots.\

In alle gevallen anders dan het rationale veld Q en imaginaire kwadratische velden moet men de regulator Ri van Ki in beschouwing nemen, omdat Ki dan als gevolg van de eenheidsstelling van Dirichlet eenheden van oneindige orde kent. De kwantitatieve hypothese van de standaardversie van de stelling van Brauer–Siegel is dat als Di de discriminant van Ki is, dat dan geldt

 \frac{[K_i : Q]}{\log|D_i|} \to 0\text{ as }i \to\infty.

Dit aannemende en uitgaande van de algebraïsche hypothese dat Ki een Galois-uitbreiding van Q is, luidt de conclusie dat

 \frac{ \log(h_i R_i) }{ \log\sqrt{|D_i|} } \to 1\text{ als }i \to\infty

waar hi het klassegetal van Ki is.

Dit resultaat is ineffectief, zoals ook het resultaat over kwadratische velden was, waarop deze stelling zich baseert. Effectieve resultaten in dezelfde richting werden in de vroege jaren 1970 geïnitieerd door het werk van Harold Stark.

Referenties[bewerken]