Stelling van Cantor-Bernstein-Schröder

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de axiomatische verzamelingenleer doet de stelling van Cantor-Bernstein-Schröder een uitspraak over de gelijkmachtigheid van twee verzamelingen. De stelling zegt namelijk dat als er tussen twee verzamelingen zowel een injectieve afbeeldingen van de ene in de andere verzameling is en ook van de andere in de ene, er een bijectieve afbeelding is tussen de beide verzamelingen, en de verzamelingen dus gelijkmachtig zijn. De stelling is genoemd naar Georg Cantor, Felix Bernstein en Ernst Schröder'

Stelling[bewerken | brontekst bewerken]

Laat en injectieve afbeeldingen zijn tussen de verzamelingen en . Dan bestaat er een bijectieve afbeelding .

In termen van kardinaliteit van de twee verzamelingen betekent dit:

Van de verzamelingen en wordt in dat geval gezegd dat zij gelijkmachtig zijn. Dit is uiteraard een zeer nuttige eigenschap in de ordening van kardinaalgetallen.

Bewijs[bewerken | brontekst bewerken]

Het volgende bewijs is geparafraseerd naar Thomas Jech.[1] Noem en . Dan is en . Het volstaat dus de stelling te bewijzen voor met een bijectie van naar .

Noem en definieer recursief voor de verzamelingen en . Dan kan men nagaan dat de volgende functiedefinitie de gezochte bijectie levert:

Referenties[bewerken | brontekst bewerken]