Stelling van Euclides

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De stelling van Euclides is een wiskundige stelling die luidt: "Er zijn oneindig veel priemgetallen." De stelling is genoemd naar de Griekse wiskundige Euclides, die in zijn werk Elementen in boek IX als propositie 20 de stelling noemt.

Bewijs[bewerken]

Uit het ongerijmde:

Stel dat het aantal priemgetallen eindig is, dus dat alleen de getallen P_0, P_1,\dots, P_k priem zijn.

Tel bij het product van alle priemgetallen 1 op. Het resultaat N=P_0 \cdot P_1 \cdot \ldots \cdot P_k +1 is groter dan het grootste priemgetal, en is dus geen priemgetal. Dus is dit getal deelbaar door een priemgetal (zie de hoofdstelling van de rekenkunde, waarin staat dat elk natuurlijk getal > 1 een priemdeler heeft). Het is echter niet deelbaar door een van de priemgetallen P_0, P_1,\dots, P_k, want bij deling door een van deze is de rest 1. Dus is het deelbaar door een ander priemgetal, wat een tegenspraak inhoudt, waarmee de stelling bewezen is.