Stelling van Euclides

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De stelling van Euclides is een wiskundige stelling die luidt: "Er zijn oneindig veel priemgetallen." De stelling is genoemd naar de Griekse wiskundige Euclides, die in zijn werk Elementen in boek IX als propositie 20 de stelling noemt.

Bewijs[bewerken]

Uit het ongerijmde:

Stel dat het aantal priemgetallen eindig is, dus dat alleen de getallen P_0, P_1,\dots, P_k priem zijn.

We nemen nu het product van alle priemgetallen en tellen er 1 bij op, dus N=P_0 \cdot P_1 \cdot \dots \cdot P_k +1 Dit getal is groter dan het grootste priemgetal en is dus geen priemgetal. Dus is dit getal deelbaar door een priemgetal (zie de hoofdstelling van de rekenkunde, waarin staat dat elk natuurlijk getal > 1 een priemdeler heeft). Het is echter niet deelbaar door een van de priemgetallen P_0, P_1,\dots, P_k, want bij deling door een van deze is de rest 1. Dus is het deelbaar door een ander priemgetal, wat een tegenspraak inhoudt, waarmee de stelling bewezen is.