Stelling van Euclides

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De stelling van Euclides is een wiskundige stelling die luidt: "Er zijn oneindig veel priemgetallen." De stelling is genoemd naar de Griekse wiskundige Euclides, die in zijn werk Elementen in boek IX als propositie 20 de stelling noemt.

Bewijs[bewerken]

Uit het ongerijmde:

Stel dat het aantal priemgetallen eindig is, dus dat alleen de getallen priem zijn.

Tel bij het product van alle priemgetallen 1 op. Het resultaat is groter dan het grootste priemgetal, en is dus geen priemgetal. Dus is dit getal deelbaar door een priemgetal (zie de hoofdstelling van de rekenkunde, waarin staat dat elk natuurlijk getal > 1 een priemdeler heeft). Het is echter niet deelbaar door een van de priemgetallen , want bij deling door een van deze is de rest 1. Dus is het deelbaar door een ander priemgetal, wat een tegenspraak inhoudt, waarmee de stelling bewezen is.