Stelling van Euclides

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De stelling van Euclides is een wiskundige stelling die luidt: "Er zijn oneindig veel priemgetallen." De stelling is genoemd naar de Griekse wiskundige Euclides, die in zijn werk Elementen in boek IX als propositie 20 de stelling noemt.

Bewijs[bewerken]

Uit het ongerijmde: Stel dat het priemgetal P het grootste priemgetal is, en er dus alleen de priemgetallen P_0,P_1,\dots,P_k=P zijn.

Het getal N=P_0 \cdot P_1 \cdot \dots \cdot P_k +1 is groter dan P en is dus geen priemgetal. Dus is N deelbaar door een priemgetal, zeg Q (zie de hoofdstelling van de rekenkunde, waarin staat dat elk natuurlijk getal > 1 een priemdeler heeft). Echter Q is niet een van de priemgetallen P_0,P_1,\dots,P_k, want bij deling door een van deze is de rest 1. Dus is Q groter dan P, wat een tegenspraak inhoudt, waarmee de stelling bewezen is.