Stelling van Hopf-Rinow

In de Riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, staat de stelling van Hopf-Rinow voor een verzameling stellingen over de geodetische volledigheid van Riemann-variëteiten. De stelling is vernoemd naar de Duitse wiskundige Heinz Hopf en diens student Willi Rinow.

Formulering van de stelling

Laat (M, g) een aangesloten Riemann-variëteit zijn. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:

1. De gesloten en begrensde deelverzamelingen van M zijn compact;
2. M is een volledige metrische ruimte;
3. M is geodetisch volledig; dat wil zeggen dat voor elke p in M, de exponentiële afbeelding exp_p wordt gedefinieerd op de gehele raakruimte T_pM.

Verder impliceert een van de bovenstaande formuleringen dat gegeven enige punten p en q in M, er een lengte bestaat die de geodeet die deze twee punten verbindt minimaliseert (geodeten zijn in het algemeen extrema en kunnen al of niet minima zijn).