Stelling van Hopf-Rinow

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de Riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, staat de stelling van Hopf-Rinow voor een verzameling stellingen over de geodetische volledigheid van Riemann-variëteiten. De stelling is vernoemd naar de Duitse wiskundige Heinz Hopf en diens student Willi Rinow.

Formulering van de stelling[bewerken]

Laat (M, g) een aangesloten Riemann-variëteit zijn. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:

  1. De gesloten en begrensde deelverzamelingen van M zijn compact;
  2. M is een volledige metrische ruimte;
  3. M is geodetisch volledig; dat wil zeggen dat voor elke p in M, de exponentiële afbeelding expp wordt gedefinieerd op de gehele raakruimte TpM.

Verder impliceert een van de bovenstaande formuleringen dat gegeven enige punten p en q in M, er een lengte bestaat die de geodeet die deze twee punten verbindt minimaliseert (geodeten zijn in het algemeen extrema en kunnen al of niet minima zijn).