Stelling van Jacobi

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
De ingekleurde hoeken bij A, respectievelijk B en C zijn gelijk, dus XYZ is een Jacobi-driehoek en N het bijbehorende Jacobi-punt.

De stelling van Jacobi is een wiskundige stelling in de euclidische meetkunde van de driehoek. De stelling luidt dat als in het vlak van een driehoek ABC een driehoek A1B1C1 voldoet aan de voorwaarden

  • AB1 en AC1 antiparallel zijn ten opzichte van AB en AC;
  • BA1 en BC1 antiparallel zijn ten opzichte van BA en BC;
  • CA1 en CB1 antiparallel zijn ten opzichte van CA en CB;

dan zijn ABC en A1B1C1 perspectief. A1B1C1 wordt een Jacobi-driehoek of isogonale driehoek genoemd, het perspectiviteitscentrum punt van Jacobi.

Laten we

  • , dus als C en C1 aan weerszijden van AB liggen,
  • , en
  • ,

dan zijn de barycentrische coördinaten met Conway-driehoeknotatie

  • en

Het bijbehorende punt van Jacobi heeft barycentrische coördinaten

waarin α, β en γ de hoeken van driehoek ABC representeren.

Bekende voorbeelden van Jacobi-driehoeken zijn de driehoek van Morley, de spiegeldriehoek en de driehoeken van Kiepert. Ook de ontaarde driehoek van punten waar oneindig verre rechte de hoogtelijnen snijden is een Jacobi-driehoek.

Eigenschappen[bewerken]

  • Als A2B2C2 ook een Jacobi-driehoek is, dan vormen de punten waar A1A2 zijde BC snijdt, B1B2 snijdt met AC en C1C2 met AB een Ceva-driehoek.
  • De kruisingsdriehoek van een Jacobi-driehoek is weer een Jacobi-driehoek.

Zie ook[bewerken]