Stelling van Lindemann-Weierstrass

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De stelling van Lindemann-Weierstrass gaat over een bepaald resultaat in de getaltheorie. De stelling zegt, dat algebraïsche lineaire combinaties van algebraïsche machten van e niet nul kunnen zijn. Uit deze stelling kan afgeleid worden dat e en π transcendent getallen zijn. De stelling is genoemd naar de wiskundigen Ferdinand von Lindemann en Karl Weierstrass.

Stelling[bewerken]

Laat verschillende algebraïsche getallen zijn en willekeurige algebraïsche getallen, die niet alle gelijk zijn aan 0, dan geldt

.

Met behulp van deze zeer algemene stelling bewees von Lindemann de duidelijk zwakkere resultaten dat e en π transcendent zijn.

Gevolgen[bewerken]

De volgende resultaten zijn een direct gevolg van de stelling:

  • Zou een algebraïsch getal zijn, dan zouden er gehele getallen moeten zijn, niet alle gelijk aan nul, zodat
wat duidelijk in tegenspraak is met de bovengenoemde stelling.
  • Om de transcendentie van af te leiden, veronderstelt men dat een algebraïsch getal zou zijn. Omdat de algebraïsche getallen een lichaam vormen, moet dan ook algebraïsch zijn, waarin de imaginaire eenheid is. Voor en krijgt men een tegenspraak met de bovengenoemde stelling, want volgens de formule van Euler geldt:
.
  • Duidelijk is dat de natuurlijke logaritme van een algebraïsch getal een transcendent getal is. Immers, stel dat een algebraïsch getal is, dan geldt
en hierin zijn behalve alle coëfficiënten algebraïsch.
  • Is een van 0 verschillend algebraïsch getal, dan volgt uit de stelling ook dat de getallen , sin(α), cos(α), tan(α), sinh(α), cosh(α) en tanh(α) transcendent zijn.

Korte tijd na het bewijs van de stelling van Lindemann-Weierstrass leverde David Hilbert een duidelijk vereenvoudigd bewijs voor de speciale gevallen van de transcendentie van de wiskundige constanten en , waaruit ook weer de algemene stelling af te leiden is.

Literatuur[bewerken]

  • (de) Ferdinand Lindemann: Über die Zahl . (1882) In: Mathematische Annalen 20, pp. 213 - 225.
  • (de) David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und . (1893) In: Mathematische Annalen 43, pp. 216 - 219.