Stelling van Lindemann-Weierstrass

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De stelling van Lindemann-Weierstrass gaat over een bepaald resultaat in de getaltheorie. De stelling zegt, dat algebraïsche lineaire combinaties van algebraïsche machten van e niet nul kunnen zijn. Uit deze stelling kan afgeleid worden dat e en π transcendent getallen zijn. De stelling is genoemd naar de wiskundigen Ferdinand von Lindemann en Karl Weierstrass.

Stelling[bewerken]

Laat \alpha_1, \ldots , \alpha_n verschillende algebraïsche getallen zijn en \beta_1, \ldots , \beta_n willekeurige algebraïsche getallen, die niet alle gelijk zijn aan 0, dan geldt

\beta_1e^{\alpha_1} + \ldots + \beta_ne^{\alpha_n} \ne 0.

Met behulp van deze zeer algemene stelling bewees von Lindemann de duidelijk zwakkere resultaten dat e en π transcendent zijn.

Gevolgen[bewerken]

De volgende resultaten zijn een direct gevolg van de stelling:

  • Zou e een algebraïsch getal zijn, dan zouden er gehele getallen \beta_0, \beta_1, \ldots ,\beta_n moeten zijn, niet alle gelijk aan nul, zodat
\beta_0e^0 + \beta_1e^1 + \ldots + \beta_ne^n = 0,
wat duidelijk in tegenspraak is met de bovengenoemde stelling.
  • Om de transcendentie van \pi af te leiden, veronderstelt men dat \pi een algebraïsch getal zou zijn. Omdat de algebraïsche getallen een lichaam vormen, moet dan ook \pi i algebraïsch zijn, waarin i de imaginaire eenheid is. Voor n=1, \beta_0=\beta_1=1, \alpha_0=\pi i en \alpha_1 = 0 krijgt men een tegenspraak met de bovengenoemde stelling, want volgens de formule van Euler geldt:
e^{\pi i} + 1 = e^{\pi i} + e^0 = 0.
  • Duidelijk is dat de natuurlijke logaritme van een algebraïsch getal een transcendent getal is. Immers, stel dat \alpha een algebraïsch getal is, dan geldt
e^{\ln(\alpha)} -\alpha e^0 = 0
en hierin zijn behalve \ln(\alpha) alle coëfficiënten algebraïsch.
  • Is \alpha een van 0 verschillend algebraïsch getal, dan volgt uit de stelling ook dat de getallen e^\alpha, sin(α), cos(α), tan(α), sinh(α), cosh(α) en tanh(α) transcendent zijn.

Korte tijd na het bewijs van de stelling van Lindemann-Weierstrass leverde David Hilbert een duidelijk vereenvoudigd bewijs voor de speciale gevallen van de transcendentie van de wiskundige constanten e en \pi, waaruit ook weer de algemene stelling af te leiden is.

Literatuur[bewerken]