Stelling van Midy

De stelling van Midy is een stelling uit de getaltheorie, genoemd naar de Franse wiskundige Étienne Midy, die ze in 1836 publiceerde.

De stelling zegt:

Indien de decimale expansie van een niet-vereenvoudigbare breuk $a/p$ een repeterend gedeelte heeft dat bestaat uit een even aantal cijfers $2n$, dan is de som van de twee helften van dat repeterende gedeelte gelijk aan $10^{n}-1$ (een getal met enkel negens) indien:

• ofwel $p$ een priemgetal is;
• ofwel $p$ een macht van een priemgetal is;
• ofwel de grootste gemene deler van $p$ en $10^{n}-1$ gelijk is aan 1.

Voorbeelden

De volgende breuken zijn niet vereenvoudigbaar en hebben een repeterend gedeelte met een even aantal cijfers.

5/13 = 0,384615384615...

met repeterend gedeelte "384615" en inderdaad is 384 + 615 = 999

2/17 = 0,117647058823529411764...

met repeterend gedeelte "1176470588235294" en 11764705 + 88235294 = 99999999

2/77 = 0,0259740259740...

met repeterend gedeelte "259740" en 259 + 740 = 999

In het laatste geval gaat de stelling op omdat de grootste gemene deler van 77 en 1000−1=999 gelijk is aan 1.

De stelling in andere talstelsels

De stelling gaat ook op in talstelsel met een ander grondtal: als de breuk in het talstelsel met grondtal $b$ een repeterend gedeelte heeft met even lengte, is de som van de twee helften een getal met enkel een aantal malen het cijfer $b-1$. Zo is in het octale stelsel:

1/19 = 0,032745032745...₈

met repeterend gedeelte "032745"₈
en (octaal) 032₈ + 745₈ = 777₈

Bron

Jens Bossaert, Curiosa Mathematica nr. 11