Stelling van Midy

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De stelling van Midy is een stelling uit de getaltheorie, genoemd naar de Franse wiskundige Etienne Midy, die ze in 1836 publiceerde.

De stelling zegt:

indien de decimale expansie van een niet-vereenvoudigbare breuk a/p een periode heeft die bestaat uit een even aantal cijfers 2n, dan is de som van de twee helften van die periode gelijk aan 10n-1 (een getal met enkel negens) indien:

  • ofwel p een priemgetal is;
  • ofwel p een macht van een priemgetal is;
  • ofwel de grootste gemene deler van p en 10n-1 gelijk is aan 1.

Voorbeelden[bewerken]

  • 5/13 = 0,384615384615...

met periode 384615 en
384 + 615 = 999

  • 2/17 = 0,117647058823529411764...

met periode 1176470588235294 en
11764705 + 88235294 = 99999999

  • 2/77 = 0,0259740259740...

met periode 259740 en
259 + 740 = 999
Hiervoor gaat de stelling op omdat de grootste gemene deler van 77 en 1000-1=999 gelijk is aan 1.

De stelling in andere talstelsels[bewerken]

De stelling gaat ook op in talstelsel met een ander grondtal: als de breuk in het talstelsel met grondtal b een periode heeft met even lengte, is de som van de twee helften een getal met enkel b-1; bijvoorbeeld in octaal:

  • 1/19 = 0,032745032745...8

met periode 0327458
en (in octaal) 0328 + 7458 = 7778

Bron

Jens Bossaert, Curiosa Mathematica nr. 11