Stelling van Midy

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

De stelling van Midy is een stelling uit de getaltheorie, genoemd naar de Franse wiskundige Etienne Midy, die ze in 1836 publiceerde.

De stelling zegt:

Indien de decimale expansie van een niet-vereenvoudigbare breuk a/p een repeterend gedeelte heeft dat bestaat uit een even aantal cijfers 2n, dan is de som van de twee helften van dat repeterende gedeelte gelijk aan 10n−1 (een getal met enkel negens) indien:
  • ofwel p een priemgetal is;
  • ofwel p een macht van een priemgetal is;
  • ofwel de grootste gemene deler van p en 10n−1 gelijk is aan 1.

Voorbeelden[bewerken]

  • 5/13 = 0,384615384615...

met repeterend gedeelte "384615" en
384 + 615 = 999

  • 2/17 = 0,117647058823529411764...

met repeterend gedeelte "1176470588235294" en
11764705 + 88235294 = 99999999

  • 2/77 = 0,0259740259740...

met repeterend gedeelte "259740" en
259 + 740 = 999
Hiervoor gaat de stelling op omdat de grootste gemene deler van 77 en 1000−1=999 gelijk is aan 1.

De stelling in andere talstelsels[bewerken]

De stelling gaat ook op in talstelsel met een ander grondtal: als de breuk in het talstelsel met grondtal b een repeterend gedeelte heeft met even lengte, is de som van de twee helften een getal met enkel een aantal malen het cijfer b−1; bijvoorbeeld in het octale stelsel:

  • 1/19 = 0,032745032745...8

met repeterend gedeelte "032745"8
en (in octaal) 0328 + 7458 = 7778