Stelling van Napoleon

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De driehoek van Napoleon

De Stelling van Napoleon luidt dat als aan de zijden van elke willekeurige driehoek gelijkzijdige driehoeken worden vastgemaakt, ofwel allemaal naar buiten gericht ofwel allemaal naar binnen gericht, dat dan de zwaartepunten van die driehoeken altijd de hoekpunten zullen zijn van een gelijkzijdige driehoek.

De twee gelijkzijdige driehoeken van Napoleon die zo worden verkregen hebben een (absoluut) verschil in oppervlakte gelijk aan de oppervlakte van de gegeven driehoek.

Hoewel hij naamgever is van deze stelling, is er geen directe aanwijzing dat Napoleon Bonaparte de ontdekker is van deze stelling, of hem heeft bewezen. Wel wordt er in de volksmond beweerd dat hij de formule kon gebruikt hebben om de baan van kanonskogels exacter te kunnen berekenen.

Punten van Napoleon[bewerken]

De twee driehoeken van Napoleon zijn voorbeelden van Kiepert-driehoeken, en dus perspectief met de gegeven driehoek. De perspectiviteitscentra heten de punten van Napoleon en hebben barycentrische coördinaten

\left(\frac 1{S_A \pm S_{\frac{\pi}{6}}},\frac 1{S_B \pm S_{\frac{\pi}{6}}},\frac 1{S_C \pm S_{\frac{\pi}{6}}}\right) =
\left(a \csc(A \pm \frac{\pi}{6}) , b \csc(B \pm \frac{\pi}{6}),c \csc(C \pm \frac{\pi}{6})\right),

waarbij gebruik is gemaakt van Conway-driehoeknotatie. Hun Kimberling nummers zijn X(17) en X(18).

Eigenschappen[bewerken]

De punten van Napoleon zijn de middelpunten van de omgeschreven cirkels van de Kiepert-driehoeken gevormd met aangeplakte gelijkzijdige driehoeken.