Stelling van Pompeiu

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Illustratie van de stelling van Pompeiu

De stelling van Pompeiu is een stelling in de meetkunde, genoemd naar de Roemeense wiskundige Dimitrie Pompeiu (1873-1954), die luidt

Gegeven een gelijkzijdige driehoek ABC en een punt P, dan zijn de lijnstukken AP, BP en CP de zijden van een (eventueel ontaarde) driehoek.

De betekenis van de stelling is dus dat de som van twee van de lijnstukken vanuit P niet groter is dan het derde lijnstuk.

Er is een eenvoudig bewijs: Roteer A, B en P over 60° om het punt C, zodat A terechtkomt op B. Laat B' en P' de beelden zijn van B en P. We zien dat PC = P'C en ∠PCP' = 60°. Dus is PCP' een gelijkzijdige driehoek en PP' = PC. Natuurlijk is ook PA = P'B. Dus is PBP' een driehoek met zijden gelijk aan PA, PB en PC. Daarmee is het bewijs door constructie compleet.

Ontaard geval

De driehoek met lengtes van zijden AP, BP en CP is dan en slechts dan ontaard, als P op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC ligt.

De stelling van Pompeiu is overigens een direct gevolg van de Stelling van Ptolemaeus.

De stelling van Pompeiu blijft geldig als P niet in hetzelfde vlak ligt als driehoek ABC.

Externe link[bewerken]