Stelling van Riesz-Fischer
In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is de oorspronkelijke vorm van de stelling van Riesz-Fischer een stelling over een eigenschap van de L2-ruimte van kwadratische integreerbare functies. De stelling werd in 1907 onafhankelijk van elkaar bewezen door Frigyes Riesz en Ernst Sigismund Fischer.
In de literatuur komen inmiddels varianten en generalisaties van deze stelling voor.
Klassieke vorm
[bewerken | brontekst bewerken]Als een orthonormaal stelsel is in en een rij reële getallen, dan convergeert de reeks dan en slechts dan als er een functie is zodanig dat voor iedere geldt
Dit oorspronkelijke resultaat van Riesz is nu een speciaal geval van basisfeiten over reeksen orthogonale vectoren in hilbertruimten.
Moderne vorm
[bewerken | brontekst bewerken]De huidig gebruikelijke vorm van de stelling zegt dat een meetbare functie op het interval dan en slechts dan kwadratisch integreerbaar is, als de bijbehorende fourierreeks convergeert in de -norm.
Dat houdt in dat voor een kwadratisch integreerbare functie de partiële sommen
van de fourierreeks van , waarin de -de fouriercoëfficiënt is:
in -norm convergeren naar , dus
En omgekeerd, dat als een tweezijdige rij complexe getallen is, waarvoor
- ,
er een kwadratisch integreerbare functie bestaat, waarvan de getallen de fouriercoëfficiënten zijn.
Deze vorm van de stelling van Riesz–Fischer is sterker dan de ongelijkheid van Bessel, en kan gebruikt worden om de gelijkheid van Parseval voor fourierreeksen te bewijzen.