Stelling van Stewart

De stelling van Stewart is een formule die gebruikt kan worden om de lengte van een hoektransversaal in een driehoek te berekenen. De stelling is in 1746 door de Schotse wiskundige Matthew Stewart opgesteld en is naar hem genoemd, alhoewel Archimedes de stelling vermoedelijk al kende. De stelling is te zien als een uitbreiding van de stelling van Apollonius.

Gegeven een driehoek $\triangle \mathrm {ABC}$ met de gebruikelijke $a,b$ en $c$ als lengtes van de zijden. Laat $\mathrm {M}$ een punt zijn op $\mathrm {AB}$ met

$d=\mathrm {CM}$, de lengte van de gegeven hoektransversaal

$x=\mathrm {AM}$

$y=\mathrm {MB}$, dus

$c=x+y$

Dan is volgens de formule van Stewart

$cd^{2}=xa^{2}+yb^{2}-cxy$

De stelling wordt vaak op een andere manier geformuleerd, door $x$ te schrijven als $\ pc$. Dan is:

$p\ a^{2}+(1-p)\ b^{2}=d^{2}+xy$

en

$p\ a^{2}+(1-p)\ b^{2}=d^{2}+p(1-p)c^{2}$

De stelling is door de Nederlander Oene Bottema gegeneraliseerd voor een viervlak.

Bewijs van de stelling 

Men kan de formule afleiden met behulp van de cosinusregel. Nemen we $\phi =\angle \mathrm {CMB}$ dan geldt in de driehoeken $\triangle \mathrm {PBC}$ en $\triangle \mathrm {PCA}$

• $a^{2}=d^{2}+y^{2}-2dy\cos \phi$
• $b^{2}=d^{2}+x^{2}+2dx\cos \phi$

Door $x$ keer de eerste vergelijking bij $y$ keer de tweede vergelijking op te tellen ontstaat de formule van Stewart.

voetnoten

websites

• MathWorld. Stewart's Theorem.